Интерполяционная формула Лагранжа.

Теорема. (Интерполяционная формула Лагранжа.) Пусть ; , ,…, − различные, и , ,…, − любые элементы поля . Тогда существует в точности один многочлен степени такой, что для , ,…, . Этот многочлен имеет вид

Доказательство. Так как при и , то для .

Пусть − другой многочлен, обладающий теми же свойствами, что и . Тогда многочлен степени имеет корней. Значит, − нулевой многочлен, и − единственный многочлен с требуемыми свойствами. ∎

Другие формулы. Если − конечное поле, то

Дискретное преобразование Фурье. Если , ,…, , где − элемент порядка мультипликативной группы поля , , то

Поле отношений. (вкратце)

Имеется много общих свойств между кольцами и . Наша дальнейшая цель вложить в поле, так же, как вкладывается в .

Пусть − целостное кольцо. Рассмотрим множество пар ( , ) ∈ , где . Пары ( , ) будем называть дробями и обозначать через (что более привычно). На множестве дробей определим отношение равенства:

Нетрудно проверить, что данное отношение обладает следующими свойствами:

Первые два свойства очевидны. Докажем третье свойство:

Таким образом, отношение равенства является отношением эквивалентности на множестве и, следовательно, определяет разбиение этого множества на непересекающиеся классы. Класс эквивалентности, содержащий дробь , обозначим через . Так что

На множество классов, которое обозначим через , можно перенести обычные операции сложения и умножения:

Нетрудно показать, что эти операции определены корректно, т.е. не зависят от выбора представителей классов, а именно:

Нетрудно проверить также, что множество относительно введённых операций сложения и умножения дробей образует поле. Чтобы оно содержало кольцо нужно отождествить некоторые дроби с элементами из . Это достигается следующим образом. Элементу отнесём дроби , где − любой элемент из (на самом деле элементу будет отнесена одна дробь, поскольку все дроби равны). Далее квадратные скобки в записи будем опускать.

Поле ( , +, ∙) называется полем отношений, или полем частных кольца . Таким образом, доказано существование объемлющего поля для целостного кольца. Заметим, что кольцо могло и не содержать единицу, а в поле частных она появится. (Пример: , где , .)

Конструкция полей отношений часто используется в математике. Например, поле рациональных чисел есть не что иное, как поле отношений кольца . Нетрудно проверить также, что , если − поле.

Другой важный пример полей отношений даёт кольцо , где – поле (в более общем случае ,…, − кольцо многочленов от переменных). Поле отношений кольца называется полем рациональных дробей от переменной с коэффициентами в и обозначается через (квадратные скобки меняются на круглые).

Поле бесконечно и имеет характеристику, совпадающую с характеристикой поля . Каждая рациональная дробь записывается в виде , где , − многочлены из , − ненулевой многочлен; называется числителем, а − знаменателем дроби . Дробь не меняется, если числитель и знаменатель умножить на один и тот же ненулевой многочлен или сократить на общий множитель. Значение не зависит от представления дроби в виде отношения (частного) двух многочленов и . Рациональная дробь называется несократимой, если её числитель взаимно прост со знаменателем. Любая рациональная дробь однозначно представляется несократимой дробью , где и − частные от деления и на их наибольший общий делитель нод , . Старший коэффициент знаменателя можно вынести и его обратное значение присоединить к числителю. Несократимая дробь со знаменателем, являющимся унитарным многочленом, называется нормализованной. Если deg , т.е. степень числителя меньше степени знаменателя, то несократимая дробь называется правильной.

Теорема. Каждая рациональная дробь из представима в виде суммы многочлена и правильной лроби.

Доказательство. Использовать теорему о делении с остатком. ∎

Определение. Правильная рациональная дробь из называется простейшей, если , , где − неприводимый многочлен, и deg .

Теорема. Каждая правильная рациональная дробь из может быть разложена в сумму простейших дробей, причём единственным способом.

Конкретно, если – каноническое разложение многочлена в произведение неприводимых сомножителей , , (многочлены , , , − унитарные), то

для некоторых , .

Доказательство. Опускается. ∎