- •Часть 1.
- •Дорогие, ребята!
- •Раздел 1. Справочный материал
- •Определение систем счисления
- •Запись чисел в позиционной системе счисления
- •Перевод чисел из одной системы счисления в другую
- •Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием s
- •Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием s
- •Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления
- •Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему счисления
- •Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления
- •Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления
- •П еревод неправильных дробей из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием s
- •Перевод чисел из системы счисления с основанием s в десятичную систему счисления
- •Запись некоторых чисел в различных системах счисления
- •Арифметические действия над числами в различных системах счисления
- •Сложение чисел
- •Вычитание чисел
- •Действия над числами с одинаковыми знаками и над числами с разными знаками
- •Умножение многозначных чисел
- •Деление многозначных чисел
- •Упрощенное действие вычитания
- •Признаки делимости чисел
- •Признаки делимости чисел в десятичной системе счисления
- •Признаки делимости чисел в двенадцатеричной системе счисления
- •Признаки делимости чисел в системах счисления с основанием 2s (т.Е. Четным основанием)
- •Признаки делимости чисел в системах счисления с основанием s (s – любое число)
- •Раздел 2. Проверь себя!
- •Раздел 3. Занимательный материал
- •Великие и знаменитые о системах счисления
- •Это интересно!
- •Викторина
- •Головоломки. Ребусы. Кроссворды
- •Головоломка «На единицу меньше»
- •Загадка «Необыкновенная биография»
- •Стихотворение-загадка а. Старикова.
- •Необыкновенная девочка
- •Кроссворд № 1
- •Кроссворд № 2
- •Раздел 2. Проверь себя
- •Раздел 3. Занимательный материал
- •3.4.5. Кроссворд № 2.
- •Литература
- •Позиционные системы счисления и-цзин
- •Двадцатеричная система счисления
Упрощенное действие вычитания
Выполнение действия вычитания можно упростить, сведя его с помощью специального приема к сложению. Для этого пользуются понятием дополнения числа.
Дополнение числа определяется как величина, которая будучи прибавлена к данному числу, обращает сумму в нуль с переносом единицы в старший разряд. Например, сумма двух чисел 681(10) и 319(10) равна 1000(10) – с переносом единицы в старший разряд. В этом примере число 681 является дополнением к числу 319 и, наоборот, число 319 является дополнением к числу 618.
Определение дополнения для любого числа (десятичного, восьмеричного, двоичного и т.д.) одинаково. Вначале вычитают каждую цифру числа из наибольшего цифрового значения для данной системы счисления и прибавляют единицу к цифре младшего разряда. Например, для десятичного числа 384(10) нужно вычесть каждую цифру из 9 и прибавить единицу к младшему разряду: 9 – 3 = 6, 9 – 8 = 1, 9 – 4 = 6. Получим дополнение 616(10) (999 – 384 = 616) к числу 384(10).
Для восьмеричного числа 756(8) нужно вычесть каждую цифру из 7 и прибавить единицу к младшему разряду: 777 – 756 = 021 + 1 = 22. Число 22(8) является дополнением числа 756(8).
Для двоичного числа 1 011 011(2) нужно вычесть каждую цифру из 1 и прибавить единицу к младшему разряду: 1 111 111(2) – 1 011 011(2) + 1 = 100 101(2). Число 100 101(2) является дополнением числа 1 011 011(2).
Для получения дополнения числа двоичной системы счисления можно использовать следующий прием: достаточно поменять каждый нуль на единицу, единицу на нуль и к младшему разряду прибавить единицу.
Для шестнадцатеричного числа DA1F9(16) нужно вычесть каждую цифру из 15(10) = F(16) и прибавить единицу к младшему разряду: FFFFF – DA1F9 + 1 = 26E06 + 1. Число 25Е07(16) является дополнением числа DA1F9(16).
Пример 21. Вычесть из трехразрядного числа 741(10) трехразрядное число 326(10).
Решение. 741(10) – 326(10) = 415(10).
Преобразовать число 326 в его дополнение: 999-326 + 1 = 673 + 1 = 674.
Дополнением числа 326 есть 674.
Произвести сложение числа 741 с дополнением 674: 741 + 674 = 0 415 = 1415.
При сравнении действий вычитания и сложения с дополнением получаем одинаковый результат в первых трех разрядах.
В примере рассмотрен случай получения положительного результата при вычитании.
Если результат вычитания двух чисел отрицательный, то нужно взять дополнение от вычитаемого, сложить его с уменьшаемым и затем взять дополнение от полученного результата и изменить знак перед ним. Таким путем получается истинное число от вычитания. Необходимость нахождения второго дополнения определяется отсутствием единицы переноса в действии сложения уменьшаемого с первым дополнением.
Пример 22. Вычесть из трехразрядного числа 326(10) трехразрядное число 741(10).
Решение. 326(10) – 741(10) = -415(10).
Взять дополнение от вычитаемого 741: 999 – 741 + 1 = 259; сложить его с уменьшаемым 326: 259 + 326 = 585; возьмем дополнение от полученного результата: 999 – 585 + 1 = 415; изменить знак перед этим числом: -415.
Рассмотрим случай вычитания чисел с разным количеством разрядов.
Пример 23. Вычесть трехразрядное число 871(10) из четырехразрядного числа 1576(10).
Решение. Представить число 871 в виде 0871. Найти дополнение к числу 0871: 9999 – 0871 + 1 = 9129; выполнить сложение уменьшаемого с дополнением: 1576 + 9129 = 10705. В результате получается перенос единицы в старший разряд. Следовательно, число 705 – истинное.
Типичная ошибка при получении дополнения – это отсутствие выравнивания числа разрядов вычитаемого по числу разрядов уменьшаемого.