Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение производной функции. Найдите производную функции у= х³ с помощью определения производной.

2. Геометрический смысл производной функции.

3. Физический смысл первой и второй производной.

4. Сформулируйте правила дифференцирования сложных функций.

5. Чем отличается дифференциал функции от ее приращения?

Согласно правилу Лопиталя, если функции f₁(х) и f₂(x) одновременно стремятся к 0 или к ∞ при х → а(х→∞),то

Если отношение производных функций тоже имеет вид 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить правило Лопиталя и так несколько раз до получения результата.

Задача 10.

Найти

Решение. При х стремящемся к 0, числитель и знаменатель стремятся также к 0, т.е. имеем неопределенность вида 0/0 и применимо правило Лопиталя:

стремятся к 0. По правилу Лопиталя:

По-прежнему имеем неопределенность вида 0/0, т.к.

Применяя еще раз правило Лопиталя, получаем:

Для отыскания экстремумов и промежутков монотонности функции у = f(х) поступаем следующим образом:

1. Находим производную f '(х).

2. Находим точки, в которых f '(x) = 0 или f '(x) не существует.

3. Разбиваем этими точками область определения f(x) на промежутки.

4. Методом проб определяем знак f '(x) в этих промежутках и находим интервалы монотонности.

5. Применяем достаточное условие экстремума. Согласно ему точка, в которой f(x) определена, а f '(х) меняет знак с минуса на плюс, есть точка минимума. Точка, в которой f(x) определена, a

f '(x) меняет знак с плюса на минус, есть точка максимума.

Задача 11. Найти точки экстремумов функции y=1/3x³-x²-3x+4

Решение. 1.Найдем область определения функции: D(y)=R,

2.Найдем первую производную функции:

y'=1\3(x3)'-(x2)'-3(x)'+(4)' =x² - 2x - 3

3.Найдем точки, в которых производная равна нулю, т.е. критические точки: y'=0 или x²-2x-3=0, откуда x₁=-1, x₂=3.

4.Исследуем, как меняет знак производная при переходе через найденные точки, т.е. применим достаточный признак экстремума. Критические точки разбивают всю область определения на 3 интервала, в каждом из которых определим знак первой производной:

а) на ]-∞;-1[ возьмем, например х=-2.Вычислим у'(-2)=5>0;

б) на ]-1;3[ возьмем х=0, вычислим у'(0)=-3<0;

в) на ]3;+∞[ возьмем х=4, вычислим у'(4)=5>0.

Результаты занесем в таблицу:

x	] -∞; -1[	-1	] –1; 3[	3	] 3; +∞[
у'	+	0	-	0	+
y	возрастает	max	убывает	min	возрастает

Из таблицы видно, что точка х=-1 является точкой максимума функции, так как при переходе через нее знак первой производной меняется с плюса на минус; а точка х=3 есть точка минимума, так как знак производной изменяется с минуса на плюс.

Вычислим экстремальные значения функции, то есть

у_max = у(-1) = ⅓(-1)³ - (-1)² – 3(-1) + 4 = 5 ⅔,

у_min = у(3) = ⅓ ∙ 3³ - 3² - 3 ∙ 3 + 4 = -5.

График функции у=⅓ ∙ х³ - х² - 3х + 4 схематично представим:

Рис. 2

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Какие функции называются основными элементарными функциями?

2. Какая функция называется сложной?

3. Какие функции называются взаимно обратными? Как построить график обратной функции по графику данной функции в системе декартовых координат?

4. Дайте определение и начертите графики следующих функций: линейной, квадратичной, дробно-линейной, показательной, логарифмической,

5. Сформулируйте основные теоремы о пределах функции,

6. Какая переменная величина называется бесконечно малой? Какова зависимость между ними?

7.Сформулируйте основные свойства бесконечно малых величин.

8. Как найти предел дробной рациональной функции f(x) = =P(x)/Q(x) при х → a, если Р(а) = 0, Q(а) = 0?.

9. Сформулируйте и напишите первый замечательный предел.

10. Сформулируйте и напишите второй замечательный предел.

11. Какие логарифмы называются натуральными?

12. Как перейти oт натуральных логарифмов к десятичным и обратно?

13. Что называется приращением аргумента (независимой переменной)?

14. Что называется приращением функции?

15. Укажите два определения непрерывности функции в точке.

16. Какая функция называется непрерывной на отрезке?

17. Что называется производной функции в данной точке?

18. Какой геометрический смысл имеет производная данной функции в данной точке?

19. Какое геометрическое значение имеет дифференциал функции?

20. Чем отличается приращение функции от ее дифференциала?

21. Среди каких значений независимой переменной надо искать те значения, при которых функция имеет экстремум?

22. Достаточно ли условия f '(x_о) = 0, чтобы сказать, что при

х = х_о функция имеет максимум или минимум?

23. Как определить интервалы возрастания и убывания функции и как найти ее максимум и минимум?

24. Что называется дифференциалом функции? В чем заключается механическое толкование дифференциала?

25. Дайте определение касательной и нормали к кривой в данной точке? Какой вид имеют уравнения касательной и нормали?

26. В чем заключается правило Лопиталя?

27. Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба кривой у = f(x)?