По таблице (приложение 1 руководства в.Е. Гмурмана) находим, что

φ(х) = 0,2059,

а искомая вероятность P₁₀₀ (70) = 0,23 ∙0,2059 = 0,0474,

б) по условию к₁ = 70, к₂ = 80

Вероятность того, что прорастаний будет не менее 70 и не более 80 определяется по интегральной теореме Лапласа

P₁₀₀ (70, 80)

Вычислим верхний и нижний пределы интегрирования

Таким образом, имеем

P₁₀₀ (70, 80) = Ф(1,15) – Ф(-1,15) = Ф(1,15) + (1,15) = 2Ф(1,15),

По таблице (приложение 2 руководства В.Е. Гмурмана) находим, что P₁₀₀ (70, 80) = 2 ∙ 0,3749 = 0,7498.

Задача 4. Вероятность появления события в каждом из 10 000 независимых испытаний постоянна и равна р = 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,001.

Решение. По условию n = 10 000, p = 0,75,

q = 0,25, ε = 0,001.

Требуется найти

P(| – 0,75| ≤ 0,001).

Пользуясь формулой

P (| – p| ≤ ε) ≈ 2Ф(ε ),

будем иметь

P(| – 0,75| ≤ 0,001) ≈ 2Ф(0,001 ∙ ) ≈ 2Ф(0,231).

По таблице (приложение 2 руководства в.Е. Гмурмана) находим

Ф(0,231) = 0,091,

Следовательно, Ф(0,235) = 0,182,

т.е. P(| – 0,75| ≤ 0,001) ≈ 0,182.

Смысл полученного результата таков: для достаточно большого числа испытаний в 18,2% случаев испытаний откло­нение относительной частоты от постоянной вероятности 0,75 по абсолютной величине не превысит 0,001.

З адача 5. Количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. По данному распределению выборки

x_i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

n _i 1 4 7 11 16 30 14 8 6 2 1

определить число объектов n в выборке, найти несмещенное среднее значение , “исправленное” среднее квадратическое S_x, и доверитель­ные интервалы для μ, σ, если доверительная вероят­ность j равна 0,95.

Решение. Объем выборки n равен

Используя формулу для вычисления несмещенного среднего значения х

получим

= 5,81.

Используя формулу для вычисления “исправленного” среднего квадратического S_х

получим S_х = 1,7546, по заданной доверительной вероятности j = 0,95 по приложению 2 руководства В. Е. Гмурмана находим t_j = 0,98 , используя j = 2Ф(t) = 0,95. Поэтому

х – t_j < μ < x + t_j ,

или, подставляя численные данные,

5,466 < μ < 6,154.

Для оценки математического ожидания при большом объеме выборки и неизвестной дисперсии мы использовали нормальный закон распределения.

Для оценки математического ожидания по малым выбор­кам при неизвестном σ следует пользоваться t – распределением Стьюдента и приложением 3 руководства В. Е. Гмурмана .

Для оценки среднего квадратического отклонения служит доверительный интервал

S_х (1 - q_j) < σ < S_х (1 + q_j).

Значение q_j находим по приложению 4 руководства В.Е. Гмурмана:

q_j = q(0,95 ,100) = 0,143.

Подставив S_х = 1,7546; n = 100; q_j = 0,143 , получим

1,5037 < σ < 2,0055.

Задача 6. Из предварительных оценок известны значения

S_х = 0,5, j = 0,95, β₁ = 3%, β₂ = 10%,

а) оценить объем необходимой выборки, чтобы точность оценки µ равнялась β₁%,

б) оценить объем необходимой выборки, чтобы точность оценки σ равнялась β₂%.

Решение.

а) Известно, что n ≥ t² . По условию P = 2Ф(t) = 0,95, значение t найдем по приложению 2 руководства В.Е. Гмурмана: t = 1,96 ≈ 2.

Тогда n ≥ 2² = 1111,1.

Следовательно, для заданной доверительной вероятности и точности оценки объем выборки должен составлять не менее 1112.

б) Дано j = 0,95 ∙ q = 0,10. По приложению 4 руковод­ства В.Е. Гмурмана находим значения q(p, n), близ­кие к 0,10, их два:

q(0,95;200) = 0,099 и

q(0,95;150) = 0,115

Следовательно n > 150

Задача 7. При использовании определенных методов лечения среди 100 больных было 25 выздоровевших. Опреде­лить пределы, в которых с заданной доверительной вероят­ностью j = 95% лежит вероятность выздоровления .

Решение. Известно, что

< <

t_j,n найдем по приложению 3

t(0,95; 100) = 1,984 ≈ 2.

,

или 0,1787 < < 0,3406.

Задача 8. При анализе результатов двух выборок объемом n₁ = 10 и n₂ = 15 были найдены, соответственно, значения

₁ = 13, ₂ = 12, S₁ = 2, S₂ = 4.

Определить достоверность различия ₁ и ₂ при задан­ном уровне значимости 0,05.

Решение. С помощью критерия Стьюдента находим для υ = n – 1 = 25 – 1 = 24 и для уровня значимости α = 0,05 по приложению 5 руковод­ства В.Е. Гмурмана

t_0,05;24 = 2,06

H_o- нулевая гипотеза. За H_o принимаем утверждение: различия случайны, это одна выборка на генеральной сово­купности. Тогда

т.е. 0,7 = t_набл < t_{0,05; 24} = 2,06

Следовательно, H_o отвергается, т.е. различия реаль­ны.