Вопросы для самопроверки

1. Что называется событием?

2. Какие события называются достоверными? невозможными? случайными? несовместимыми? единственно возможными? противоположными? равновозможными?

3. Что называется полной группой событий?

4. В чем состоит теорема сложения вероятностей?

5. Какие два события называются независимый?

6. Какая вероятность события А называется безуслов­ной? условной?

7. Что называется совмещением событий?

8. В чем состоит теорема умножения для независимых и зависимых событий?

9. В чем состоит закон биномиального распределения вероятностей?

10. Как вычисляется наиболее вероятное число появлений события в совокупности независимых испытаний?

11. Какая величина называется случайной (дискретной, разрывной)?

12. В чем состоит закон распределения случайной величи­ны?

13. Что называется математическим ожиданием случайной величины и как оно определяется?

14. Что называется дисперсией случайной величины? Как определяется дисперсия?

15. Что называется средним квадратическим отклонением? Как оно определяется?

16. В чем заключается локальная теорема Лапласа и его интегральная теорема?

17. В чем заключаемся неравенство Чебышева?

18. В чем состоит теорема Я.Бернулли?

19. Дайте определение функции распределения вероятностей. В чем состоит ее геометрический смысл?

20. Назовите основные свойства функции распределения вероятностей.

21. Дайте определение плотности распределения вероятностей и перечислите основные ее свойства.

22. Какой функцией описывается нормальное распределение?

23. В чем состоит правило трех сигм?

24. В чем состоит сущность теоремы Ляпунова?

25. Каковы задачи математической статистки?

26. Напишите формулы для вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии.

27. Как построить гистограмму?

28. Какие оценки называют точечными и какие интерваль­ными?

29. Что обозначает понятие "нулевая гипотеза"?

30. В чем состоит сущность t - критерия согласия?

31. Какие вопросы разрешает критерий λ² и в чем его сущность?

32. Что называется корреляцией между признаками?

33. Какая корреляция называется слабой, средней, cильной, положительной, отрицательной?

34. Перечислите свойства коэффициента корреляции.

35. Как вычисляется коэффициент корреляции между двумя признаками?

Примеры решения задач,

Задача I.

В партии из 100 изделий отдел контроля обнаружил 5 нестандартных изделий. Чему равна относительная час­тота появления нестандартных изделий?

Решение. Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.

Таким образом, относительная частота появления нестан­дартных изделий равна

W(А) = 5/100 = 0,05.

Задача 2.

Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность события А равна 0,1. Найти:

а) наивероятнейшее число наступления события А,

б) вероятность того, что событие А наступит наивероятнейшее число раз.

Решение. Искомое наивероятнейшее число найдем из двой­ного неравенства

np – q ≤µ < np + p

При условии, что n = 10, p= 0,1 , q = 0,9 полу­чим

10 · 0,1 – 0,9 ≤ μ < 10 ∙ 0,1 +0,1

или

0,1 ≤ μ < 1,1

Между числами 0,1 и 1,1 заключено лишь одно целое число μ =1.

Вероятность того, что событие А наступит 1 раз в 10 независимых испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:

P₁₀(1) = C¹₁₀ p¹q⁹ = 10 ∙ 0,1∙ 0,9⁹ = 0,9⁹

Задача 3. Вероятность прорастания семян равна 0,75. Найти вероятность того, что прорастает

а) ровно 70 зерен,

б) не менее 70 зерен и не более 80, если высажено 100 зерен.

Решение.

а) По условию n = 100, р = 0,75, q = 0,25, k = 70,

Воспользуемся локальной теоремой Лапласа, тогда

P₁₀₀ (70) ≈

Вычислим