Тема №4 Неопределенный интеграл.

Э.С. Маркович, ч.1, раздел 4, глава 9, §§47-53. Упражнения

Определенный интеграл.

Э.С. Маркович, ч.1, раздел 4, глава 10, §§ 54-60. Упражнения

Указания.

Действие интегрирования обратно действию дифференцирования. Поэтому перед изучением настоящей темы студентам рекомендуется повторить основные формулы дифференцирования.

Но в то время как операция дифференцирования однозначна, так как каждая дифференцируемая функция имеет единственную производную, операция интегрирования многозначна; если функция имеет одну первообразную на отрезке, то она имеет и бесконечное множество первообразных на этом отрезке. Однако задача отыскания совокупности всех первообразных сводится к задаче отыскания только одной первообразной, так как все первообразные данной функции отличаются друг от друга на постоянные слагаемые.

Формулы из таблицы основных интегралов необходимо запомнить, так как нахождение других интегралов сводится к последовательным преобразованиям их к табличным (если это возможно).

В процессе этих преобразований применяются следующие основные методы:

1. способ непосредственного интегрирования,

2. разложение,

3. замена переменной (введение новой переменной).

Способ непосредственного интегрирования практически сводится к тому, что данный интеграл сравнивается с интегралами этой таблицы.

Если при этом среди интегралов составленной таблицы найдется интеграл, в точности совпадающий с данными, то данный интеграл записывают в соответствующем виде.

Способ разложения состоит в том, что подынтегральная функция f(х), не интегрирующаяся непосредственно, раскладывается при помощи соответствующих математических операций на сумму таких функций, каждая из которых интегрируется непосредственно. После указанного разложения находится интеграл каждого слагаемого при помощи таблицы основных интегралов.

Общего правила для выбора подстановки не существует. Умение подбирать замену переменной (подстановку) вырабатывается в результате упражнений.

При интегрировании по частям нужно данный дифференциал представить в виде произведения двух множителей u и dv, причем множитель dv должен содержать dx. Для целесообразного применения этого метода интегрирования очень важно правильно подобрать множители.

Следует иметь в виду, что для подстановки в правую часть формулы интегрирования по частям

(∫u·dv = u·v - ∫v·du)

нужно множитель u продифференцировать, а множитель dv проинтегрировать. Поэтому за u следует принимать, если это возможно, функцию, которая при дифференцировании упрощается, а за dv – выражение, имеющее известный интеграл.

Примеры вычисления интегралов.

Задача 1.

Задача 2.

Задача 3.

Найти интеграл

Решение. Данная дробь неправильная. Разделив числитель на знаменатель (исключив целое) получим:

Эффективным способом интегрирования функций является замена переменной. Его целью является получение с помощью новой переменной более простого интеграла.

Задача 4.

Найти ∫е^2хdx.

Решение:

Сделаем замену 2x=t. Для нахождения dx через t продифференцируем обе части уравнения:

d(2x) = dt => (2x)'dx = dt => 2dx = dt => dx = dt/2 . Теперь

∫e^2xdx = ∫e^t dt/2 = ½∫ e^tdt = ½ e^t + c = ½ e^2x + c.

Задача 5.

Найти

Решение:1-й способ. Сделаем замену

x³ = t => d(x³) = dt =>(x³)'dx =>Зx²dx = dt => dx = dt/3x²

Очевидно, выразить dx только через t рациональным способом не удается. Однако после подстановки полученных выражений для х³ и dx через t исходный интеграл принимает вид:

Можно было поступить по-другому. Нетрудно видеть, что в равенстве Зx²dx = dt левая часть содержит часть подынтегрального выражения, а именно х²dx = dt/3. Поэтому ∫х²e^хdx = ∫e^t dt/3 и т.д.

2 способ. Сделаем другую замену:

и подынтегральное выражение сразу очень просто выражается через t:

Задача 6.

Найти

Решение: Применим подстановку arctg x = t, тогда dt = dx/(1+x²) и, следовательно,