Примеры решения задач.

Задача I. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Известно, что у' = dy/dx, следовательно,

Умножим обе части равенства на dx:

Разделим обе части равенства на

Почленно интегрируя, получим искомый общий интеграл

Задача 2. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

Решение. В правой части этого уравнения стоит од­нородная функция нулевой степени, следовательно, исход­ное уравнение однородное. Применим подстановку y = x ∙ u. Найдем производную y' = u'x + u и в уравнение вместо у и у' подставим их новые значения.

Получим.

u'x + u = u + tg u,

отсюда

u'x = tg u, x = tg u,

, ln│sin u│= ln│x│ + ln │c│, (c≠0),

откуда

ln│sin u│= ln│cx│,

следовательно

sin u = ± cx, sin u = c₁x (c₁ = ± c)

Окончательно получаем

sin = c₁x.

Задача 3. Проинтегрировать дифференциальное уравнение.

у'' + 9у = 6е^3х.

Решение. Соответствующее однородное дифференциаль­ное уравнение имеет вид

у'' +9у = 0,

его характеристическое уравнение есть r² + 9 = 0,

его корни r_½ = ± 3i, следовательно, общее решение соответствующего однородно­го уравнения есть

= C₁ cos3x + C₂ sin3x.

Так как правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид

P_o (x)e^3x ,

a 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме

y* = Q_o (x) e^3x,

т.е. положим

y* = A e^3x

Найдем (у*)' и (y*)'' и, подставив эти вы­ражения в заданное уравнение, будем иметь

9Ae^3x +9Ae^3x = 6e^3x

откуда

18Ae^3x = 6e^3x

Приравнивая коэффициенты, получим

18A = 6 или A = ⅓,

Следовательно, y* =⅓ e^3x

Общее решение y = y + y*, т.е.

у = C₁ cos3x + C₂ sin3x + ⅓e^3x.

Задача 4. Найти частное решение уравнения у" - у = 0, удовлетворяющее начальным условиям у(0) = 0, у'(0) = 1.

Решение: Данная задача с начальными условиями носит название задачи Коши. Составим характеристическое уравнение:

r² - 1 = 0. Его решениями являются r = ±1. Общее решение уравнения в этом случае (D>0) находится по формуле

у = с₁ + с₂ , т.е. у = с₁e ^x + с₂e^-x. (1)

Найдем у': у' = (с₁ e^x + с₂ e^{- x})' = с₁ e^x - с₂ e ^-x. (2)

Подставим в уравнения (1) и (2) начальные условия:



Решая эту систему, получаем с₁ = ½, с₂ = -½. Найденные значения постоянных с₁ и с₂ подставляем в общее решение (1) и получаем искомое решение у = ½е^х - ½е^-х , или у = ½ (е^х – е^-х).

Вопросы для самопроверки

1. Какое уравнение называется дифференциальным? Что на­зывается порядком дифференциального уравнения?.

2. Что называется решением дифференциального уравнения?

3. Какое решение дифференциального уравнения называется общим и какое - частным? Каков их геометрический смысл?

4. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными и как оно интегрируется?

5. Что называется характеристическим уравнением и как оно составляется для заданного линейного дифференци­ального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

6. Как составляется общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

7. Какой вид имеет общее решение однородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициента­ми, если корни его характеристического уравнения действительные и различные? кратные? комплексные?

8. Какой вид имеет общее решение неоднородного линейно­го уравнения второго порядка о постоянными коэффициентами

y'' + py' + qy = f (x),

если у* - одно его частное решение, а - об­щее решение соответствующего однородного уравнения

y'' + py' + qy = 0?

9. В какой форме следует искать (какой вид имеет у*) если f (x) есть показательная функция вида, Ae^αx, а α совпадает с одним из корней характеристического уравнения?