Примеры решения задач

Задача 1.

Найти

Решение. Здесь нельзя применить теорему о пределе частного, так как предел знаменателя равен нулю:

Но предел числителя так же равен нулю, т. е. Дробь представляет собой отношение двух бесконечно малых функций (неопределенность вида 0/0). В данном выражении числитель и знаменатель имеют общий множитель (1-х); выделим этот множитель и сократим на него, считая х1:

Функции и

имеют различные области определения, хотя различие это и проявляется в одной лишь точке х=1.

Функция f(х) в этой точке не определена, а функция φ(х) определена:

В этом и состоит смысл утверждения, относящегося в данном случае к области, содержащей точку х=1, что "на нуль сокращать нельзя". Во всякой же другой области, не содержащей точку х=1, имеем f(х)= φ(х), т.е. сокращение возможно. А так как предел

limf(x)полностью определяется поведением функции f(х) в окрестности точки х=а, без самой точки х=а, то

Но для вычисления можно применить и теорему о пределе частного

Следовательно, и

Коротко решение этой задачи запишется так:

Проще обстоит дело в случае, когда x → ∞.В этом случае уже, естественно, не приходится говорить о значении функции в "предельной точке" (такой точки теперь нет).

Задача 2.

Найти

Решение. Непосредственная подстановка предела невозможна (здесь мы имеем так называемую неопределенность вида ∞/∞). Разделив почленно числитель и знаменатель на наивысшую степень переменной х (а данном случае на x²), получим:

так как х - величина бесконечно большая (х→∞), а, следовательно, обратная ей величина 1/x есть бесконечно малая, откуда

Задача 3.

Найти

Решение.

Задача 4.

Найти

Решение. Задача решается при помощи первого замечательного предела после простых преобразований выражения, стоящего под знаком предела, а именно:

(по условию х → 0, следовательно 2х → 0 и 3х → 0, т.к. произведение постоянной на бесконечно малую есть величина бесконечно малая).

Задача 5.

Найти

Решение. Имеем неопределенность вида ∞/∞.Разделим числитель и знаменатель на х. Тогда:

Здесь была использована формула:

Задача 6.

Найти

Решение.

При х→1 и числитель, и знаменатель дроби стремятся к 0, т.е. имеем неопределенность вида 0/0. Для раскрытия неопределенности предварительно избавимся от иррациональности, сделав замену . Тогда ,x = t³ при x →1 t → 1. Теперь

Вопросы для самопроверки

1. Какая функция называется бесконечно малой?

2. Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями?

3. Сформулируйте основные теоремы о пределах.

4. Дайте определение непрерывной функции в точке и на промежутке (а;b).

Дифференциальное исчисление

Полезно выписать производные основных элементарных функций для случая, когда аргумент этих функций U есть в свою очередь функция от независимой переменной х, т.е. U=U(x):

1. С' = 0, С = const; 2. (U ⁿ )′ = nU^n-1 • U', n = const;

3. (1/U)' = -U'/U; 4. (√U)' = ; 5. (sinU)' = cosU • U';

6. (cosU)' = - sinU • U'; 7. (tgU)' = ;

8. (ctgU)′ = ; 9. (arcsinU)' = ;

10. (arccosU)' = ; 11. (arctgU)' = ;

12. (arcctgU)' = ; 13. (a ^U)' = a ^Uln aU';

14. (e ^U)' = e^U U'; 15. (logU)' = ; 16. (ln U)' = U′/U.

Данные производные позволяют дифференцировать всякую сложную функцию, которая представляет собой цепочку основных элементарных функций. Если

U(x) = X, то U' =X' = 1 и вышеприведенный перечень упрощается:

1. C' = 0, C=const;

2. (Xⁿ) = nX^n-1, n = const, n ≠ - 1;

3. (1/x)’ = - 1/x².

Задача 7.

Найти производную функции y = sin2x.

Решение: U = 2x. (sin2x)' = (sinU)' = cosU • U' = cos2x • (2x)' = cos2x • 2x' = 2cоs2х

Задача 8.

Найти (sin²x)'.

Решение: U=sinx. Тогда (sin²x)' = (U²)' = 2U • U' = 2sin(sinx)' = 2sinx cosx = sin2x.

Если известна производная у' функции у(х), то дифференциал функции может быть легко вычислен по формуле: dy = у'dx.

Задача 9.

Найти производные и дифференциалы следующих функций:

1. 

2. y =x cosx;

3. y = lnx/x;

4. ;

5. y =

Решение. Производя очевидные преобразования и применяя известные правила дифференцирования, получаем:

2)

3)

4)

=

=

5)