2. Расчет цепей с нелинейными резистивными элементами

Будем рассматривать НРЭ управляемые напряжением

1) Последовательное соединение

При последовательном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается ток, протекающий через последовательно соединенные элементы. Здесь нельзя сразу использовать закон Ома, так как сопротивление НЭ зависит от тока. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ  отдельных резисторов в системе декартовых координат  строится результирующая зависимость (складываются напряжения на НЭ₁ и НЭ₂ при одном и том же токе, например u₁+ u₂ = u_O при i= i₁ - показано пунктиром). .Затем на оси напряжений откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине напряжения на входе цепи Е (ЭДС), из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью . Из точки пересечения перпендикуляра с кривой  проводится линия на ось токов – полученная точка соответствует искомому току в цепи, по найденному значению которого с использованием зависимостей  определяются напряжения  на отдельных резистивных элементах. В данном примере U₁ и U₂.

2) Параллельное соединение

При параллельном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается напряжение, приложенное к параллельно соединенным элементам. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ  отдельных резисторов в системе декартовых координат  строится результирующая зависимость . В нашем случае суммируются токи при одних и тех же напряжениях i(u)=i₁(u)+i₂(u) ( показано пунктиром i₁+i₂=i_O при u=u₁). Затем на оси токов откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине тока источника на входе цепи J, из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью . При наличии на входе цепи источника напряжения задача решается сразу путем восстановления перпендикуляра из точки, соответствующей заданному напряжению источника, до пересечения с ВАХ .

.

Из точки пересечения перпендикуляра с кривой  опускается перпендикуляр на ось напряжений – полученная точка соответствует напряжению на нелинейных резисторах U, по найденному значению которого с использованием зависимостей  определяются токи  в ветвях с отдельными резистивными элементами (I₁ и I₂).

Смешанное соединение

Последовательно строятся результирующие ВАХ: сначала для последовательного соединения резисторов (в данной схеме), затем для параллельного. В других схемах может и наоборот.

4) Сложное соединение с одним нелинейным элементом

В данном случае используется теорема об эквивалентном источнике (генераторе) напряжения или тока (вся цепь, кроме одного нелинейного элемента, заменяется эквивалентным источником и эквивалентным сопротивлением), а далее по виду соединения.

Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

Для того чтобы была возможность аналитически рассчитывать цепи с нелинейными элементами, необходимо иметь математические выражения для характеристик элементов. Сами эти характеристики обычно являются экспериментальными, т.е. полученными в результате измерений соответствующих элементов, а затем приводятся как справочные (типовые) данные. Процедуру математического описания некоторой заданной функции в математике называют аппроксимацией этой функции. Существует целый ряд типов аппроксимации: по выбранным точкам, по Тейлору, по Чебышеву и др. В конечном итоге необходимо получить математическое уравнение, которое с какими-то заданными требованиями удовлетворяло исходной, аппроксимирумой функции. Для этого применяют полиномы: степенные, экспоненциальные и тригонометрические.

Рассмотрим простейший способ: метод выбранных точек или узлов интерполяции степенным полиномом.

Необходимо определить коэффициенты полинома. Для этого выбирается (n+1) точек на заданной функции и составляется система уравнений

(если а₀ =0, то n уравнений):

И з этой системы находятся коэффициенты а₀, а₁, а₂, …, а_n. (здесь в примере а₀,=0)

В выбранных точках аппроксимирующая функция будет совпадать с исходной, в других точках – отличаться (сильно или нет – зависит от степенного полинома). Аппроксимация с помощью степенного полинома может быть проведена с достаточно большой точностью. Но для этого потребуется использование полиномов высоких степеней, полученные выражения будут громоздки и неудобны для исследования процессов в нелинейных цепях. Поэтому в зависимости от вида нелинейной характеристики используют полиномы невысоких порядков Аналогичные исследования проводятся для нелинейной индуктивности и емкости.

Можно использовать экспоненциальный полином:

Второй метод: метод аппроксимации по Тейлору. В этом случае выбирается одно точка, где будет совпадение исходной функции с аппроксимирующей, но дополнительно ставится условие, чтобы в этой точке совпадали еще и производные, тогда функция будет лучше совпадать .

Аппроксимация по Батерворту: выбирается простейший полином:

В этом случае можно определить максимальное отклонение ε.

Аппроксимация по Чебышеву является степенной, там устанавливается совпадение в нескольких точках и минимизируется максимальное отклонение аппроксимирующей функции от исходной.

Ч ебышев установил, что должно выполняться:

В инженерной практике используется еще так называемая кусочно-линейная аппроксимация – это описание заданной кривой отрезками прямых линий, например, тремя.

115