§4. Законы Кирхгофа в комплексной форме

В общем виде законы Кирхгофа соблюдаются для мгновенных значений, то есть для функций времени. Для простых действующих или амплитудных значений эти законы не соблюдаются. Законы соблюдаются только при учете начальных фаз колебаний, то есть в векторной или комплексной форме как бы при остановке времени. Должна быть одна и та же частота у всех токов или напряжений. Поэтому чисто математически законы Кирхгофа можно записать для комплексных действующих или амплитудных значений при одинаковой частоте колебаний. Рассмотрим 1 закон Кирхгофа (для токов)

i ₁(t) - i₂(t) – i₃(t) = 0, ( I_m1 – I_m2 – I_m3 ≠ 0)

. Множитель вращения е^jω∙t можно сократить. Тогда получим

.

Для того, чтобы комплексное число равнялось 0 должны равняться 0 его вещественная и мнимая части (косинусоидальная и синусоидальная составляющие).

Аналогично можно записать 2 закон Кирхгофа для напряжений в комплексной форме.

После введения таких символических понятий, как комплексные токи и напряжения, можно ввести понятие комплексного сопротивления для участка цепи.

, - комплексное сопротивление рассматриваемого участка цепи. - модуль комплексного сопротивления (полное сопротивление участка цепи), характеризует отношение величины напряжения участка цепи к величине тока через этот участок ).

- аргумент комплексного сопротивления (характеризует сдвиг фаз между напряжением и током данного участка цепи)

, где R_э – вещественная часть – эквивалентное резистивное сопротивление (активное); X_э – мнимая часть ( эквивалентное реактивное сопротивление).

Применяют понятие и комплексной проводимости, как величины, обратной комплексному сопротивлению.

, где y – модуль комплексной проводимости участка цепи, (полная проводимость).

Ψ – аргумент комплексной проводимости участка цепи, Ψ = - φ. Понятия комплексного сопротивления и проводимости являются основополагающими в первом семестре, так как все основные выводы будут базироваться на использовании этих величин.

§5. Анализ режима гармонического тока в пассивных элементах

элек­трической цепи

1. Гармонический ток в резисторе

,

U_mR=R∙I_m , сдвиг фаз между напряжением и током в резисторе , то есть колебание напряжения совпадает по фазе с колебанием тока. Комплексное сопротивление резистора . Запасное (старое) обозначение комплексной величины использует точку сверху, например, U= .

2. Гармонический ток в индуктивности

, I_m=I_m∙e^jΨi U_mL=U_mL∙e^j(Ψi+π/2.)

- индуктивное сопротивление, φ_L = π/2 > 0 – фазовый сдвиг в индуктивности между колебаниями напряжения и тока, то есть напряжение опережает ток на π/2 (90⁰) или четверть периода.

- комплексное сопротивление индуктивности.

3. Гармонический ток в емкости

U_mC=(1/ωC)∙I_m, Ψ_U=Ψ_I - π/2, - емкостное сопротивление, φ_С = - π/2 < 0 – фазовый сдвиг в емкости между колебаниями напряжения и тока, то есть напряжение отстает от тока на π/2 (90⁰) или четверть периода.

I_m=I_m∙e^Ψi U_mC=U_mC∙e^Ψi-π/2

- комплексное сопротивление емкости.