39.Эпюры угловых моментов перемещений при кручении.

Рассмотрим конкретный пример дана эпюра Тк.

Примем сечение в точке А за условно неподвижное. Определим поворот сечения В по отношению к сечению А.

Φ_bа=Т_аbL_ab/GI_p , где ТАВ - крутящий момент на участке АВ; lАВ - длина участка АВ.

Примем следующее правило знаков для углов поворота сечений: углы будем считать положительными, когда сечение поворачивается (если смотреть вдоль оси справа налево) против часовой стрелки. В данном случае будет положительным.

Учитывая принятое правило знаков для углов закручивания, получаем: φ_cb=-T_bcL_bc/GI_p

Так как сечение В не неподвижное, то угол поворота сечения С по отношению к сечению А равен:

Φ_ca=φ_cb+φ_ba=-(T_bcL_bc/Gl_p)+φ_ba

Угол закручивания Φ_ca может получиться положительным, отрицательным и, в частном случае, равным нулю.

Предположим, что в данном случае угол Φ_ca получился положительным. Тогда, отложив эту величину в принятом масштабе вверх от эпюры, получим точку М. Соединяя точку М с точкой К, получим график углов закручивания на участке ВС. На участке CD скручивания не происходит, так как крутящие моменты на этом участке равны нулю, поэтому там все сечения поворачиваются на столько же, на сколько поворачивается сечение С. Участок MN эпюры здесь горизонтален.

40.Потенциальная энергия при кручении.

Работа статически приложенного внешнего скручивающего момента равна половине произведения конечного значения момента на величину окончательного угла закручивания.

W=T_eφ/2

Работа внутренних сил отрицательна по знаку и численно равная ей потенциальная энергия при кручении вычисляется аналогично тому как работа внутр сил при растяжении сжатии.

Элементарная работа внутренних сил:

dW_i=-Tdφ/2, dφ=Tdz/Gip => dW_i=-T²dz/2GI_p­

Полную работу внутренних сил получим интегрируя выражения для элементарной для элементарной работы по всей длинне стержня:

W_i=-1/2∫^l_{0 (}T²dz/Glp)

Для вычесления потенциальной энергии равной по значению работе внутренних сил и обратной по знаку:

U=-W_i=1/2∫^l_{0 (}T²dz/Glp)

Если крутящий момент и жесткость стержня не меняются по длине то:

U=T²/2GL_p

41.Кручение стержней не круглого сечения.

В стержнях не круглого сечения при кручении сечения не остаются плоскими а искривляются (депланируют).

Если для такой депланации нет никаких препятствий то в поперечных сечениях нормальных напряжений не возникает. Такое кручение называется чистым или свободным.

Свободное кручение возможно лишь при условии что сечения стержня и крутящий момент постоянны а концы стержня не заделаны.

Макс. Касательные напряжения: T_max=T/dab²=T/W_t

Угол закручивания: T_max=TL/Bab³=TL/GI_t

42.Статистически неопределимые задачи при кручении.

При кручении, так же как и при растяжении, встречаются задачи, которые не могут быть решены с помощью одних только уравнений равновесия. В таких задачах количество неизвестных превышает число уранений равновесия. Порядок решения таких задач тот же самый, что и при решении статически неопределимых задач при растяжении (сжатии).

Отбросим одну заделку, заменив ее действие неизвестным моментом Х (рис. 2.15, б). Дополнительное уравнение (называемое, как известно, уранением деформации или уравнением перемещений) получим из условия, что угол поворота сечения у отброшенной заделки, равный углу закручивания стержня под действием моментов Т и Х, равен нулю ( = 0).

В получившейся статически определимой системе, называемой основной системой, поворот сечения В происходит под действием внешнего момента и момента Х. Угол поворот сечения В под действием момента Х равен где

Угол поворота сечения В под действием момента Т равен

Подставляя эти значения и уравнение перемещений, получаем

Отсюда определяем Х.

После этого можно определить крутящий момент в любом сечении и построить эпюру Тк и эпюру углов закручивания. Для построения эпюры достаточно вычислить угол поворота сечения С. Он равен

Углы поворота сечений А и В равны нулю, а так как угол поворота сечения линейно зависит от расстояния , то полученные точки эпюры можно соединить прямыми линиями. Эпюры Тк и представлены на рис. 2.16, в, г.