56. Определение деформации при плоском изгибе

Весьма часто стержни подвергаются действию поперечной нагрузки или внешних пар (рис. 3.1).

При этом в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты, т.е. внутренние моменты, плоскость действия которых перпендикулярна плоскости поперечного сечения стержня.

При действии такой нагрузки ось стержня искривляется.

Указанный вид нагружения называют изгибом. Стержни, работающие в основном на изгиб, обычно называют балками. Изгиб называют чистым, если изгибающий момент является единственным внутренним усилием, возникающим в поперечном сечении стержня.

Чаще, однако, в поперечных сечениях стержня наряду с изгибающими моментами возникают тоже и поперечные силы. Такой изгиб называют поперечным.

Если плоскость действия изгибающего момента (силовая плоскость) проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения стержня, изгиб называют простым или плоским (применяется также название: прямой изгиб).

Если плоскость действия изгибающего момента в сечении не совпадает ни с одной из главных осей сечения, изгиб называют косым.

Далее будет показано, что при плоском изгибе ось балки и после деформации остается в плоскости внешних сил - силовой плоскости. При косом изгибе плоскость деформации не совпадает с силовой плоскостью.

Изучение деформации изгиба начнем со случая чистого простого изгиба: в дальнейшем рассмотрим более общий случай изгиба - поперечный изгиб. Косой изгиб относится к сложному сопротивлению стержней и будет рассмотрен позднее.

57. Определение перемещений при нескольких участках нагружения и переменной жесткости балок. Универсальные уравнения.

Если на балку действует сложная нагрузка (рис. 2.5.27), то в этом случае на разных участках закон изменения изгибающих моментов будет выражаться различными уравнениями.

Универсальные уравнения изогнутой оси балки.

58.Теорема о взаимности работ. Теорема о взаимности перемещений.

Работа внешних сил первого состояния на перемещениях второго состояния равна работе сил второго на перемещениях вызванных силами первого состояния.

F₁∆₁₂=F₂∆₂₁

Теорема о взаимности перемещений: Перемещение точки приложения единичной силы по ее направлению, Вызванное второй единичной силой равно перемещению точки приложения второй единичной силы по направлению последней вызванному действием первой силы δ₁₂=δ₂₁

59. Определение перемещений методом Мора

      Суть метод Мора в следующем. Если необходимо определить перемещение в заданной точке по заданному направлению, то на­ряду с заданной системой внешних сил в этой точке прикладыва­ется внешнее усилие Ф = 1 в интересующим нас направлении.

      Далее составляется выражение потенциальной энергии систе­мы, состоящей из nучастков с учетом одновременного действия заданной системы внешних сил и силы Ф :

            (6.1)

,

где К_х , К_у  безразмерные величины, зависящие от геометрической формы сечения и учитывают неравномерность распределения каса­тельных напряжений в сечении при поперечном изгибе. Так, на­пример, для прямоугольника К_х = К_у = 1,2, а для двутавра при из­гибе в плоскости его стенки K = F/F_CT , где F  площадь всего сечения двутавра,F_CT  площадь стенки; N_z , Q_x  , Q_y  , M_z , M_x , M_y   внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях заданной стержневой системы;  внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечени­ях заданной системы, от действия усилия Ф = 1.

      Дифференцируя выражение (6.1) по Ф, и полагая после этого Ф = 0, находим искомое перемещение в искомой точке в нужном направлении.

.         (6.2)

      Полученные интегралы называются интегралами Мора и ши­роко применяются при вычислении перемещений стержневых сис­тем.

      Для систем, элементы которых работают на растяжение или сжатие (например, шарнирностержневые системы  фермы), в формуле Мора (6.2) отличен от нуля будет только слагаемое, содер­жащее продольные силы. При расчете балок или рамных систем, работающих в основном на изгиб, влияние поперечной и продоль­ной силы на перемещение несущественно и в большинстве случаев их влияние не учитывается. В случае пространственной работы стержня или стержневой системы, элементы которой работают, в основном, на изгиб и кручение, в формуле Мора обычно ограничи­ваются рассмотрением слагаемых, содержащих изгибающие и кру­тящие моменты.

      Подробно рассмотрим случай, когда брус работает только на изгиб (M_x  0,N_z = M_z = M_y = Q_x = Q_y = 0). В этой ситуации вы­ражение (6.2) принимает вид:

.                                               (6.3)

      Согласно (6.3) для определения перемещения произвольной точки в произвольном направлении, последовательно необходимо выполнять следующее:

      1. Построить эпюру моментов М_x  от заданной системы внеш­них сил;

      2. Исключая внешние силы и в точке, где необходимо опре­делить перемещение по заданному направлению, прикладывается единичное усилие (сила  если требуется определить линейное пе­ремещение; момент  если требуется определить угловое перемеще­ние), и от действия единичного усилия строится эпюра моментов  ;

      3. По формуле Мора (6.3) вычисляется искомое перемещение.

      Если принять E I = const, то перемещение в некоторой точке стержня определяется как интеграл от произведения двух функций моментов  М_x и  . В общем виде инте­грал Мора можно выразить следующей формулой:

.   (6.4)

      Часто встречаются случаи, когда на участке стержня дли­ной l необходимо вычислить интеграл Мора при условии, что по крайней мере одна из функций  линейная (рис. 6.6). Пустьf₂ = b + k z, тогда из (6.4) получим :

             (6.5)

где ₁  площадь эпюры f₁ ; f₂ (z_C)  ордината линейной эпюры под центром тяжести криволинейной эпюры (рис. 6.6).

      Приведенное решение носит имя русского ученого Верещагина, впервые его получившего. Таким образом, по способу Вереща­гина операция интегрирования выражения (6.4) в случае линей­ности хотя бы одной из подынтегральных функций существенно упрощается и сводится к перемножению площади криволинейной эпюры на ординату второй (линейной) функции под центром тя­жести криволинейной.

      Используя способ Верещагина, приведем результаты вычисле­ния интегралов Мора для двух наиболее часто встречающихся слу­чаев:

      1. Обе функции f₁  и f₂  линейные (рис. 6.7), тогда

;                                   (6.6)

      2. Функция f₁  квадратная парабола, f₂  линейная функция (рис. 6.8). Такая ситуация встречается, когда на участке длиной l приложена равномерно распределенная нагрузка q, тогда

,                                           (6.7)

где f  “стрелка” квадратной параболы (рис. 6.8)

,  .

      В общем случае, если площадь  эпюры моментов имеет слож­ную геометрию и представляется возможным ее разбить на пло­щади _k (k = 1,2,3,...), имеющие элементарную геометрию, то ин­теграл Мора I от произведения эпюры  на эпюру моментов M, может быть представлен в виде:

.                      (6.8)

            Для расчета усилий в статически неопределимых стержневых системах существуют различные методы. Здесь рассмотрим метод сил.

Правило Верещагина

Недостатком метода Мора является необходимость получать значения внутренних силовых факторов, входящих в подынтегральные выражения формул (5.18) и (5.19), в общем виде, как функций от  , что становится достаточно трудоемким уже при двух-трех участках разбиения в балках и особенно — в рамах.

Оказывается, что от этого недостатка можно уйти, если непосредственное интегрирование в формулах Мора заменить так называемымперемножением эпюр. Такая замена возможна в тех случаях, когда хотя бы одна из перемножаемых эпюр является прямолинейной. Этому условию соответствуют все системы, состоящие из прямолинейных стержней. Действительно, в таких системах эпюра, построенная от обобщенной единичной силы, всегда будет прямолинейной.

Способ вычисления интеграла Мора путем замены непосредственного интегрирования перемножением соответствующих эпюр называетсяспособом (или правилом) Верещагина и заключается в следующем: чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является прямолинейной, нужно площадь одной эпюры (если есть криволинейная эпюра, то обязательно ее площадь) умножить на ординату другой эпюры, расположенную под центром тяжести первой.

Докажем справедливость этого правила.

Рассмотрим две эпюры (рис.5.9). Пусть одна из них ( ) является грузовой и имеет криволинейное очертание, а вторая   соответствует единичной нагрузке и является линейной.

Из рис.5.9 следует, что   Подставим значения   в выражение 

где   — дифференциал площади   эпюры   .

Рис.5.9. Правило Верещагина

Интеграл   представляет собой статический момент площади   относительно оси О – О₁, при этом

где   — абсцисса центра тяжести площади  , тогда

Учитывая, что   получим

(5.20)

Выражение (5.20) определяет результат перемножения двух эпюр, а не перемещения. Чтобы получить перемещение, этот результат нужно разделить на жесткость, соответствующую внутренним силовым факторам, стоящим под знаком интеграла.