4.1.1. Характеристики экспоненциальной системы массового обслуживания (m/m/1)

Пусть заявки, поступающие в одноканальную СМО, образуют простейший поток с интенсивностью , а длительность обслуживания заявок распределена по экспоненциальному закону со средним значением . Такую СМО с однородным потоком заявок будем называть экспоненциальной.

С использованием метода средних значений или марковской модели можно получить выражения для расчета средних значений:

• времени ожидания заявок

; (4.1)

• времени пребывания заявок

; (4.2)

• длины очереди заявок

;

• числа заявок в системе (в очереди и на обслуживании)

.

Из последнего выражения вытекает, что среднее число заявок в системе , где второе слагаемое определяет среднее число заявок, находящихся на обслуживании в приборе.

4.1.2. Характеристики неэкспоненциальной системы массового обслуживания (m/g/1)

Пусть заявки, поступающие в одноканальную СМО, образуют простейший поток с интенсивностью , а длительность обслуживания заявок распределена по произвольному закону со средним значением и коэффициентом вариации .

С использованием метода средних значений можно показать, что среднее время ожидания заявок определяется по формуле Полячека-Хинчина:

, (4.3)

где – загрузка системы.

Среднее время пребывания заявок в системе:

.

4.1.3. Анализ свойств одноканальной системы массового обслуживания

Анализ свойств одноканальной СМО с однородным потоком заявок будем проводить с использованием представленных выше математических моделей, определяющих зависимости характеристик обслуживания заявок от параметров поступления и обслуживания заявок для установившегося (стационарного) режима работы системы, в виде формул (4.1 – 4.3).

1. Среднее время ожидания заявок в очереди минимально при постоянной (детерминированной) длительности обслуживания заявок, когда коэффициент вариации длительности обслуживания , и увеличивается с ростом коэффициента вариации (дисперсии) длительности обслуживания. Заметим, что зависимость среднего времени ожидания от коэффициента вариации носит нелинейный характер. Так, например, при экспоненциально распределенной длительности обслуживания, когда , среднее время ожидания заявок увеличивается в 2 раза, а при – в 5 раз, по сравнению с детерминированным обслуживанием.

2. Среднее время ожидания заявок существенно зависит от нагрузки y (загрузки ) системы (рис. 4.2). При y ≥ 1 (ρ→1) время ожидания заявок возрастает неограниченно: → ∞, т.е. заявки могут ожидать обслуживания сколь угодно долго. Отметим, что увеличение нагрузки может быть обусловлено двумя факторами: увеличением интенсивности поступления заявок в систему или увеличением длительности обслуживания заявок (например, в результате уменьшения скорости работы обслуживающего прибора).

Рис. 4.2. Зависимость среднего времени ожидания от нагрузки

3. Можно показать, что для бесприоритетных дисциплин обслуживания в обратном порядке (ООП) и обслуживания в случайном порядке (ОСП) средние времена ожидания заявок будут такими же, как и при обслуживании в порядке поступления, но дисперсии времени ожидания будут больше. Это обусловлено, в частности для дисциплины ООП, тем, что часть заявок, поступивших последними, будут ожидать незначительное время, в то время как заявки, попавшие в начало очереди, могут ожидать обслуживания достаточно долго, то есть увеличивается разброс значений времени ожидания относительно среднего значения.