Глава 5. Численное моделирование

.

Глава 6. Имитационное моделирование

.

Глава 7. Линейные графы

При построении моделей систем, состоящей из элементов со многими входами, в которых энергия может принимать различные формы, представляет интерес методы построения линейных графов.

Эти методы являются эффективными средствами вывода уравнения состояния динамических систем, а также эти методы характеризуются простотой и наличием большого объема информации.

Модели, представленные в виде линейных графов, обладают следующими свойствами:

• линейные графы однозначно описывают структуру системы;

• на основании линейного графа без труда записываются канонические уравнения;

• легко кодируются физические свойства и причинная зависимость между переменными, а также показывается вид функциональной зависимости для основных связей.

Применение метода линейных графов следует начинать с построения наиболее простых моделей, в которых представлены основные связи в устройствах, а затем, в случае необходимости, эти исходные модели постепенно усложняются до той степени, при которой можно учесть основные характеристики устройств и представить их функциональные свойства.

7.1. Основные определения графов связи

Линейные графы – это графы, в которых каждая вершина соответствует функциональной или конструктивной компоненте физической системы, а дуга – причинно-следственной связи.

Граф называется линейным, если он представлен в виде линейной комбинации циклов.

Графовая модель позволяет установить наглядную связь между структурой системы и ее количественными характеристиками.

Линейный граф, который определяет физическую систему, в сущности, представляет собой функцию, заданную на графе, областью определения которой являются его элементы, областью значений – количественные характеристики системы.

В основу теории линейных графов положен принцип суперпозиции, позволяющий эффективно декомпозировать систему и тем самым значительно уменьшить трудоемкость проводимых расчетов.

Линейные графы получили широкое распространение для анализа, моделирования и расчета сложных динамических систем, как детерминированных, так и стохастических, адаптивных и самоорганизующихся.

При этом граф должен отображать как динамику самих компонент, так и динамику причинно-следственных связей между ними. В качестве элементов системы могут быть объекты, явления, процессы, предприятия и т.д., причинно-следственные связи могут отображать их функциональную связность, организационную зависимость.

Определение 7.1. Линейный граф (или граф связей) – это множество многосвязных элементов, объединенных связями.

Определение 7.2. Многосвязный элемент – это вершина графа, имеющая полусвязи там, где элемент может взаимодействовать со средой.

Многосвязный элемент обозначается буквенно-цифровыми символами. Полусвязи многосвязного элемента обозначаются отрезками линий, инцидентными элементу с одной стороны.

Определение 7.3. Связь – это объединение пар полусвязей, принадлежащих разным многосвязным элементам.

Линейный граф может состоять из одной или нескольких частей, может иметь несколько петель или не иметь их, связи могут быть ориентированными или неориентированными.

Определение 7.4. Часть линейного графа – это линейный граф, не все полусвязи которого соединены как связи.

Для произвольной полусвязи вводятся шесть величин, три из которых, являются интегральными.

Определение 7.5. Усилие е(t) и поток f(t) непосредственно относятся к данной полусвязи и называются переменными мощности полусвязи.

Усилие е(t) и поток f(t) определяются как скалярные функции независимой переменной t.

Определение 7.6. Мощность Р(t) – это скалярное произведение усилия на поток:

P(t) = e(t) * f(t)

Положительное направление мощности отмечается стрелкой на связи.

Определение 7.7. Момент p(t) и перемещение q(t) связаны с усилием и потоком интегральными соотношениями:

p(t) = p(t_o) +

q(t) = q(t_o) +

соответственно.

Момент и перемещение называются иногда энергетическими переменными.

Определение 7.8. Энергия E(t) выражается через мощность полусвязи с помощью следующего равенства:

E(t) = E(t_o) +

Величина E(t) - E(t_o) представляет собой полезную энергию, передаваемую через полусвязь в направлении, указанном полустрелкой (положительная мощность), за интервал (t_o , t).

Обычно для линейных графов изображают только усилие и поток следом за полусвязью (или связью). Мощность, перемещение, момент и энергия определяются с помощью вышеприведенных формул.