3.7.2. Статистична оцінка математичного сподівання

Припустимо, що вибірка, отримана в результаті незалежних випробувань над випадковою величиною – деякою ознакою генеральної сукупності, яка має математичне сподівання

За статистичну оцінку математичного сподівання приймають вибіркове середнє:

(3.27)

Оцінка є незміщеною, тобто

Припустимо додатково, що випадкова величина має скінченну дисперсію Тоді оцінка є слушною для параметра

Твердження. Якщо випадкова величина нормально розподілена з параметрами і то оцінка має у класі всіх незміщених оцінок математичного сподівання мінімальну дисперсію, яка дорівнює тому є ефективною оцінкою параметра

3.7.3. Статистична оцінка дисперсії. Виправлена дисперсія

Якщо випадкова вибірка складається з незалежних випробувань над випадковою величиною із математичним сподіванням та дисперсією то за статистичну оцінку дисперсії беруть вибіркову дисперсію

(3.28)

яка є зміщеною оцінкою параметра ;

або виправлену вибіркову дисперсію

(3.29)

яка є незміщеною оцінкою параметра

Той факт, що є зміщеною оцінкою для , випливає із рівності:

(3.30)

Враховуючи співвідношення отримуємо:

(3.31)

тобто виправлена дисперсія є незміщеною оцінкою для дисперсії

Відповідно незміщеною точковою оцінкою середнього квадратичного відхилення є число – виправлене середнє квадратичне відхилення:

.

Дріб називають поправкою Бесселя. Для малих поправка Бесселя значно відрізняється від одиниці. Для та різняться мало. На практиці користуються виправленою дисперсією, якщо обсяг .

Оцінки та є слушними і не є ефективними.

У випадку, якщо математичне сподівання відоме і випадкова величина X розподілена нормально, то незміщеною, слушною та ефективною оцінкою дисперсії є:

Приклад 3.4. У результаті дослідження отримано статистичний ряд: 3,2; 4,4; 8,1; 8,1; 6,7; 4,4; 4,4; 3,2; 5,0; 6,7; 6,7; 7,5; 3,2; 4,4; 6,7; 6,7; 5,0; 5,0; 4,4; 8,1. Обчислити статистичну оцінку математичного сподівання, незміщену оцінку дисперсії та виправлене середнє квадратичне відхилення.

Розв’язання. Для обчислення статистичних оцінок побудуємо дискретний варіаційний ряд:

	3,2	4,4	5,0	6,7	7,5	8,1
	3	5	3	5	1	3

Обчислимо статистичну оцінку математичного сподівання:

Оскільки обсяг вибірки , обчислимо незміщену оцінку дисперсії та виправлене середнє квадратичне відхилення:

3.7.4. Метод моментів статистичного оцінювання параметрів розподілу

На підставі даних вибірки отриманої внаслідок спостережень над випадковою величиною потрібно оцінити невідомий параметр Припустимо, що закон розподілу випадкової величини відомий із точністю до параметра і визначається за допомогою функції яка у випадку дискретної випадкової величини задає ймовірність події а у випадку неперервної випадкової величини – щільність її розподілу. Тоді всі моменти випадкової величини є функціями від

де якщо – дискретна випадкова величина, а – можливі значення X; і якщо – неперервна випадкова величина.

Схема статистичного оцінювання параметрів за методом моментів:

1. обчислюємо теоретичних початкових моментів:

де

2. на підставі вибірки обчислюємо відповідних вибіркових початкових моментів.

У випадку, якщо вибірка задана вихідним статистичним рядом, це будуть емпіричні моменти:

У випадку, якщо вибірка задана згрупованим варіаційним рядом, це будуть емпіричні моменти:

3. прирівнюємо теоретичні та відповідні емпіричні моменти і отримуємо систему рівнянь відносно компонент оцінюваного параметра:

4. розв’язуючи отриману систему рівнянь (точно або наближено), знаходимо шукані оцінки Ці оцінки, очевидно, є функціями від вибіркових значень

Необхідно зауважити, що:

• схема у разі вибору центральних або початкових і центральних моментів у сукупності залишається без змін;

• теоретичним обґрунтуванням методу моментів є закон великих чисел;

• методом моментів отримують слушні статистичні оцінки параметрів розподілу, які, однак, умови незміщеності взагалі не задовольняють;

• прирівнюючи функції від теоретичних та емпіричних моментів, можна дістати статистичні оцінки для характеристик випадкової величини, які є функціями від теоретичних моментів.

Приклад 3.5. Знайти методом моментів за вибіркою статистичні оцінки невідомих параметрів і нормального розподілу:

Розв’язання. Прирівняємо початкові теоретичні й емпіричні моменти першого порядку, а також центральні й емпіричні моменти другого порядку: Враховуючи, що

отримаємо:

Беручи до уваги, що математичне сподівання нормального розподілу дорівнює параметру , дисперсія дорівнює , маємо:

Таким чином, шукані статистичні оцінки параметрів нормального розподілу: