3.10. Статистична перевірка статистичних гіпотез

3.10.1. Статистичні гіпотези. Помилки першого та другого роду

Дані вибіркових спостережень часто є підставою для прийняття одного з кількох альтернативних рішень (продукція може бути якісною або бракованою, точність обробки виробу в межах норми або нижча від норми тощо). Тобто йдеться про висунення деякої гіпотези, яку після проведення експерименту або приймають, або відхиляють. Якщо експеримент має статистичний (стохастичний) характер, то говорять, що гіпотеза є статистичною.

Статистичною називають гіпотезу про властивості генеральної сукупності, що перевіряється на основі вибірки.

Статистичними гіпотезами можуть бути такі твердження про закон розподілу, про значення параметрів розподілу, про рівність параметрів двох або декількох розподілів, про незалежність вибірок та ін.

Наприклад, статистичними є такі гіпотези:

а) генеральна сукупність розподілена за законом Пуассона;

б) дисперсії двох нормальних сукупностей рівні між собою.

У математичній статистиці виділяють два основні типи статистичних гіпотез:

1) непараметричні – гіпотези про закон розподілу ймовірностей випадкової величини (ознаки генеральної сукупності);

2) параметричні – гіпотези про значення параметрів розподілу випадкової величини (ознаки генеральної сукупності).

Поряд із висунутою гіпотезою розглядають і гіпотезу, що їй суперечить. Якщо висунута гіпотеза буде відхилена, то має місце гіпотеза, що їй суперечить. Тому ці гіпотези слід розрізняти.

Основною (нульовою) називають висунуту гіпотезу, її позначають

Альтернативною (конкуруючою) називають гіпотезу, яка повністю або частково логічно заперечує нульову гіпотезу, її позначають

Наприклад, якщо основною гіпотезою є гіпотеза про значення одного з параметрів нормально розподіленої випадкової величини – тоді альтернативною є гіпотеза

Простою параметричною гіпотезою називають гіпотезу, яка стверджує, що всі невідомі параметри мають деякі числові значення.

Складеною параметричною гіпотезою називають гіпотезу, яка складається із скінченного або нескінченного числа простих параметричних гіпотез.

Наприклад, якщо – параметр експоненціального розподілу, то гіпотеза є простою, тоді альтернативна гіпотеза є складеною.

Завдання про статистичну перевірку статистичних гіпотез формулюється так: розглянути деяку статистичну гіпотезу і на підставі вивчення статистичних даних (вибірки) підтвердити справедливість висунутої гіпотези чи спростувати її. При цьому вказується також імовірність того, що прийняте рішення є правильним або помилковим. Проблема зменшення ймовірності того, що прийняте рішення є помилковим, є також одним із завдань математичної статистики.

У результаті статистичної перевірки гіпотез може бути прийняте одне з двох правильних рішень:

1) гіпотеза приймається, і вона істинна;

2) гіпотеза відхиляється, і вона неістинна.

Поряд із цим у результаті статистичної перевірки статистичної гіпотези можуть бути допущені помилки, тобто прийняті неправильні рішення двох видів:

1) помилково відхилена істинна гіпотеза;

2) помилково прийнята неістинна гіпотеза.

Помилкою першого роду називають неправильне рішення, в результаті якого відхиляється правильна гіпотеза.

Помилкою другого роду називають неправильне рішення, в результаті якого приймається неправильна гіпотеза.

Виявляється, що помилка першого роду має більш вагомі наслідки, ніж помилка другого роду. Щоб застрахувати себе від помилки першого роду або принаймні звести до мінімуму ризик її допущення, вводиться число яке виражає імовірність відхилення правильної гіпотези.

Рівнем значущості називають імовірність допущення помилки першого роду, його позначають

Рівень значущості задають наперед і найчастіше його вибирають рівним Якщо то це означає, що ймовірність допустити помилку першого роду є малою: ми ризикуємо припустити її у п’яти випадках зі ста.

Гіпотетичною називають інформацію про випадкову величину, яка міститься в гіпотезі.

Емпіричною називають інформацію про випадкову величину, яку отримують на підставі вибірки.