1.3. Теореми додавання і множення ймовірностей. Умовна ймовірність

Теорема додавання. Ймовірність суми двох подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи:

(1.6)

Якщо події А і В несумісні (тобто в результаті досліду вони не можуть з’явитись разом), то

(1.7)

При рішенні задач часто обчислюють ймовірність протилежної події , а потім знаходять ймовірність прямої події А за формулою

(1.8)

Приклад 1.9. Знайти ймовірність того, що при підкиданні 2 гральних кубиків хоча б один раз випаде 6 очок.

Розв’язання. А – поява 6 очок при підкиданні першого грального кубика, В – поява 6 очок при підкиданні другого грального кубика. Оскільки події А і В сумісні, то

Умовною ймовірністю події А за умови, що відбулася подія В, називається величина

(1.9)

Умовна ймовірність має всі властивості безумовної ймовірності.

Приклад 1.10. У кошику 5 червоних і 7 зелених м’ячів. Із нього послідовно беруть два м’ячі. Знайти ймовірність того, що другий м’яч буде зеленим за умови, що перший м’яч був зеленим.

Розв’язання

І спосіб. Позначимо: А – перший м’яч зелений; В – другий м’яч зелений. Якщо відбулась подія А, то в кошику залишилось 11 м’ячів, серед яких 6 зелених. Тому шукана ймовірність

ІІ спосіб. Оскільки серед 12 м’ячів, що лежать у кошику, 7 зелених, то Для знаходження обчислимо п – загальну кількість наслідків (сумісної появи двох м’ячів будь-якого кольору) за формулою . Із цього числа події АВ сприяють наслідки. Тому За формулою маємо , тобто одержали той же результат.

Випадкові події А і В називаються незалежними, якщо

(1.10)

Для незалежних подій , тобто настання однієї з двох незалежних подій не впливає на ймовірність іншої.

Події називаються незалежними в сукупності, якщо для будь-яких із них виконується співвідношення

(1.11)

Якщо це співвідношення виконується при , то події називаються попарно незалежними.

Теорема множення. Ймовірність сумісної появи двох подій дорівнює ймовірності однієї з них, помноженій на умовну ймовірність іншої, за умови, що перша подія настала:

(1.12)

Якщо події А і В незалежні (тобто поява однієї з них не змінює ймовірність появи іншої), то

Для знаходження ймовірності суми незалежних подій доцільно переходити до протилежних подій

(1.13)

або  – ймовірність настання принаймні однієї з подій

Приклад 1.11. Студент прийшов на екзамен, підготувавши лише 40 із 75 питань. Екзаменатор поставив йому три питання. Яка ймовірність, що студент знає відповіді на всі ці питання?

Розв’язання. А – студент знає відповіді на всі три питання; подія студент знає відповідь на і-те питання. Тоді , події – залежні, тому , (оскільки питань залишалось 73, а з них студент знає 38). Маємо

Приклад 1.12. В об’єднання входять три підприємства. Ймовірність виконати план для першого підприємства дорівнює 0,8, для другого – 0,9, для третього – 0,85. Знайти ймовірність таких подій:

1) А – договір виконає лише одне підприємство;

2) В – договір виконають 2 підприємства;

3) С – договір виконають всі підприємства;

4) Д – договір не виконає жодне підприємство;

5) Е – договір виконає принаймні одне підприємство.

а) нехай – договір виконає і-те підприємство,

тоді

б)

в)

г)