3.9. Елементи теорії кореляції

3.9.1. Функціональна, статистична й кореляційна залежності

Дві випадкові величини та можуть бути пов’язані або функціональною залежністю, або залежністю іншого роду, що називається статистичною, або бути незалежними. Чітка функціональна залежність реалізується рідко.

Статистичною називають залежність, під час якої зміна однієї із величин викликає зміну розподілу іншої.

Зокрема, у випадку, якщо під час зміни однієї з величин змінюється середнє значення другої, статистичну залежність називають кореляційною.

3.9.2. Вибірковий коефіцієнт кореляції. Коефіцієнт детермінації

Кореляційний аналіз досліджує наявність і характер зв’язків між випадковими величинами та – ознаками генеральної сукупності.

Підставою для аналізу залежності між випадковими величинами та є дані вибірки, утвореної внаслідок незалежних спостережень над двовимірною величиною

Елементами вибірки є впорядковані пари чисел де вибіркові значення ознак та відповідно, що отримують у результаті i-го спостереження, – обсяг вибірки. Вихідні статистичні дані, як правило, подаються у вигляді таблиці, рядки (або стовпці) якої закріплені за вибірковими значеннями ознак X та

Якщо обсяг вибірки достатньо великий, то статистичні дані групують.

Припустимо, що серед вибіркових значень ознаки можна виділити різних значень або частинних інтервалів, а серед вибіркових значень ознаки є різних значень або частинних інтервалів. Потім переходять до побудови таблиці. У випадку дискретної випадкової величини у першому рядку записують проранжовані варіанти випадкової величини X, а у першому стовпці записують проранжовані варіанти випадкової величини Y. Через позначимо частоту появи події Частоти , які розташовані у внутрішніх клітинах таблиці разом із відповідними їм парами чисел , становлять емпіричну (статистичну) структуру закону сумісного розподілу випадкових величин та В останньому рядку (стовпці) таблиці записують частоти варіант ( ), які позначають через Частоти варіант пов’язані між собою співвідношеннями:

Виконується також очевидна рівність:

Частоти та разом із відповідними варіантами і характеризують емпіричні (статистичні) закони розподілу одновимірних випадкових величин та

Побудовану таким чином таблицю називають кореляційною.

Якщо для побудови кореляційної таблиці замість варіант візьмемо частинні інтервали, то в кожному з них необхідно обрати свого “представника”, тобто середину відповідного інтервалу, тоді числа ( ) означають середини відповідних інтервалів.

Із теорії ймовірностей відомо, що ступінь зв’язку між випадковими величинами X і Y визначається такими числовими характеристиками їх сумісного розподілу, як коваріація і коефіцієнт кореляції які обчислюються за формулами:

Основне завдання кореляційного аналізу полягає у виявленні залежностей між випадковими величинами X та Y і може бути розв’язане шляхом побудови статистичних оцінок коефіцієнта кореляції.

Статистичну точкову оцінку для коефіцієнта кореляції обчислюють за формулою:

(3.39)

Вибірковим коефіцієнтом кореляції називається статистична точкова оцінка коефіцієнта кореляції між випадковими величинами X і Y, яка обчислюється за формулою (3.39).

Вибірковий коефіцієнт кореляції характеризує зв’язок між випадковими величинами і – ознаками генеральної сукупності:

а) якщо , то зв’язок між і є додатним, і вони зменшуються або збільшуються одночасно;

б) якщо , то зв’язок між і є від’ємним – із збільшенням однієї з них друга зменшується або навпаки; якщо , то випадкові величини і – некорельовані, і це не означає лише відсутність лінійного зв’язку між ними.

Вибірковий коефіцієнт кореляції задовольняє нерівність

На практиці користуються також коефіцієнтом детермінації.

Коефіцієнтом детермінації називається квадрат вибіркового коефіцієнта кореляції

Приклад 3.11. За даними 20-ти туристичних фірм були встановлені витрати на рекламу (yм. од.) і кількість туристів (чол.), що скористалися послугами кожної фірми. Дослідити залежність між цими ознаками (у таблиці 3.10 подані дані, що проранжовані за величиною витрат на рекламу).

Таблиця 3.10

№ пор.	xi	yi
1	8	800
2	8	850
3	8	720
4	9	850
5	9	800
6	9	880
7	9	950
8	9	820
9	10	900
10	10	1 000
11	10	920
12	10	1 060
13	10	950
14	11	900
15	11	1 200
16	11	1 150
17	11	1 000
18	12	1 200
19	12	1 100
20	12	1 000

Розв’язання. Із таблиці можна бачити, що взагалі збільшення витрат на рекламу призводить до збільшення кількості туристів, що користуються послугами фірми, хоча в окремих випадках наявність такої залежності може й не простежуватися. У кожному окремому випадку кількість туристів, що скористалися послугами фірми, залежатиме не тільки від розміру витрат фірми на рекламу, а й від того, як спрацюють інші фактори, що визначають цю величину.

Перевіримо наявність прямої залежності між досліджуваними ознаками.

Для цього обчислимо вибірковий коефіцієнт кореляції. Для його розрахунку складемо таблицю 3.10 і скористаємося формулою (3.39).

Таблиця 3.10

№ пор.	xi	yi	xi2	yi2	xiyi
1	8	800	64	640 000	6 400
2	8	850	64	722 500	6 800
3	8	720	64	518 400	5 760
4	9	850	81	722 500	7 650
5	9	800	81	640 000	7 200
6	9	880	81	774 400	7 920
7	9	950	81	902 500	8 550
8	9	820	81	672 400	7 380
9	10	900	100	810 000	9 000
10	10	1 000	100	1 000 000	10 000
11	10	920	100	846 400	9 200
12	10	1 060	100	1 123 600	10 600
13	10	950	100	902 500	9 900
14	11	900	121	810 000	9 900
15	11	1 200	121	1 440 000	13 200
16	11	1 150	121	1 322 500	12 650
17	11	1 000	121	1 000 000	11 000
18	12	1 200	144	1 440 000	14 400
19	12	1 100	144	1 210 000	13 200
20	12	1 000	144	1 000 000	12 000
	199	19 050	2013	18 497 700	192 310

У результаті отримаємо: Отримана величина є свідченням наявності досить тісної прямої залежності між досліджуваними ознаками. Коефіцієнт детермінації обчислюємо як квадрат вибіркового коефіцієнта кореляції а це означає, що 65,69 % варіації кількості клієнтів, що скористалися послугами фірми, пояснюється варіацією витрат фірм на рекламу своїх послуг.