3.10.2. Статистичний критерій перевірки нульової гіпотези

Для перевірки нульової гіпотези використовують спеціально підібрану випадкову величину, точний або наближений розподіл якої відомий. Цю величину позначають через або якщо вона розподілена нормально, або – за законом Фішера-Снедекора, – за законом Стьюдента, – за законом “хі-квадрат” і т.д. Із метою узагальнення позначимо цю величину K.

Статистичним критерієм (або просто критерієм) називають випадкову величину яка служить для перевірки нульової гіпотези

Емпіричним значенням критерію гіпотези називають значення випадкової величини обчислене на підставі даних певної вибірки. Позначають емпіричне значення

Виявляється, що за одних значень гіпотеза приймається, а за інших – відхиляється.

Критичною областю називається сукупність значень критерію K, за яких нульова гіпотеза відхиляється.

Областю прийняття гіпотези називається сукупність значень критерію K, за яких нульову гіпотезу приймають.

Таким чином, сформулюємо основний принцип перевірки статистичних гіпотез:

• якщо емпіричне значення критерію належить критичній області, то нульову гіпотезу відхиляють;

• якщо емпіричне значення критерію належить області прийняття гіпотези то нульову гіпотезу приймають.

У випадку одновимірності випадкової величини критична область, як правило, є множиною точок певних інтервалів на прямій, які відокремлені від області прийняття гіпотези так званими критичними точками

Критичними точками (межами) називають точки, що відокремлюють критичну область від області прийняття гіпотези.

Тобто для знаходження критичної області достатньо визначити критичні точки.

Розглядають три види критичних областей залежно від конкуруючої гіпотези:

• правостороння критична область – це та область на числовій прямій, що визначається нерівністю

• лівостороння критична область – це та область на числовій прямій, що визначається нерівністю

• двостороння критична область – це та область на числовій прямій, що визначається нерівністю (у припущенні, що

Для знаходження критичної області задаються рівнем значущості і шукають критичні точки із таких співвідношень:

• для правосторонньої критичної області:

• для лівосторонньої критичної області:

• для двосторонньої симетричної критичної області:

Цілком зрозуміло, що для певної гіпотези можна побудувати багато різних критеріїв її перевірки, за кожним із них можемо одержувати різні результати щодо прийняття нульової гіпотези на підставі тієї самої вибірки.

Ми будували критичну область, виходячи з вимоги, щоб імовірність попадання в неї критерію дорівнювала за умови, що саме нульова гіпотеза справедлива. Трапляється, що доцільно ввести в розглядання ймовірність попадання критерію в критичну область за іншої умови, а саме – за умови, що нульова гіпотеза неправильна, а значить істинна – конкуруюча. Для визначення цього критерію вводиться характеристика, яка має назву потужності критерію.

Потужністю критерію називають імовірність потрапляння критерію у критичну область за умови, що конкуруюча гіпотеза є істинною.

Іншими словами, потужність критерію визначається як імовірність не допустити помилку другого роду при обраному критерію.