5. Динамические колебательные системы

5.1. Малые колебания динамических систем

Важный класс динамических систем составляют колебательные динамические системы, описывающие поведение различных процессов, переменные состояния которых изменяются периодически или почти периодически во времени. Управляемые динамические колебательные системы широко распространены в различных областях науки и техники, физики, радиоэлектроники, механики и др. Если рассматриваются линейные или близкие к линейным динамические системы, то в этом случае периодические или близкие к периодическим решения получаются при наличии у линейной системы комплексно сопряженных собственных значений. Для линейных систем второго порядка это соответствует особым точкам типа «центр» (рис.П3) и «фокус» (рис.4.1 и рис.4.2). Построение оптимального управления для динамических колебательных систем можно существенно упростить, так как во многих случаях достаточно управлять не всеми переменными системы, а только некоторыми (наиболее важными). Для колебательных динамических систем такими переменными могут быть, например, амплитуды колебаний отдельных переменных, полная энергия колебаний и др. Мощным математическим средством исследования и управления динамическими колебательными системами являются разнообразные методы малого параметра [13] , в которых определяются приближенные решения дифференциальных уравнений при действии малых возмущений. В этих методах приближенные решения ищутся в виде рядов по некоторому малому параметру , который характеризует величину действующих возмущений. В математическом смысле такие ряды чаще всего получаются асимптотическими (определение асимптотических рядов будет дано в приложении 4), поэтому рассматриваемые методы часто называют асимптотическими методами малого параметра [13],[14]. Одним из самых эффективных асимптотических методов при исследовании поведения колебательных систем является метод усреднения [13],[14], который позволяет получать усредненные характеристики колебательного процесса. Применение метода усреднения совместно с классическими методами определения оптимального управления [15] (динамического программирования Беллмана, принципа максимума Понтрягина и др. ) позволяет эффективно строить оптимальные и так называемые приближенно оптимальные управления для динамических колебательных систем.

Рассмотрим линейную динамическую систему вида

, , (5.1)

где параметр .

Система (5.1) является частным случаем линейной динамической системы второго порядка (4.22), когда , , , . Приведем систему (5.1) к одному дифференциальному уравнению второго порядка, тогда

, (5.2)

где введено обозначение .

Характеристическое уравнение, соответствующее (5.2), имеет вид , из которого определяются собственные значения системы , где - мнимая единица. Если собственные значения чисто мнимые, то из теории дифференциальных уравнений известно [1], что в этом случае общее решение уравнения (5.2) записывается в виде

, (5.3)

где - произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

Решение (5.3) можно также записать и в другой форме

. (5.4)

Связь между постоянными и следующая

, , .

Из решения (5.4) следует, что постоянная представляет собой амплитуду колебаний гармонического осциллятора (5.2) (максимальное расстояние от положения равновесия ), а постоянная - начальную фазу колебаний. Постоянная в теории колебаний называется круговой частотой и связана с периодом колебаний равенством . Иногда используется частота колебаний в герцах (количество колебаний в одну секунду).

Дифференциальное уравнение второго порядка (5.2) и его решение (5.4) описывают линейные периодические колебания гармонического осциллятора, причем в различных областях науки и техники осциллятор может иметь разный физический смысл. Например, в теоретической механике математическая модель гармонического осциллятора описывает колебания математического или физического маятника без трения, в радиоэлектронике – колебания внутри колебательного контура без потери энергии и т.д. Одно уравнение второго порядка (5.2) описывает в теории колебаний [12] колебания с одной степенью свободы. Это колебания одного маятника, одного колебательного контура и т.д. Существуют также математические модели колебаний со многими степенями свободы [12]. Эти математические модели описывают связанные колебания нескольких маятников, нескольких колебательных контуров и т.д.

При построении математических моделей колебательных систем применяются два основных способа их построения: теоретический и эмпирический. При теоретическом способе для построения математической модели используются известные физические законы: в механике это законы Ньютона [5], в радиоэлектронике это законы Ома и Кирхгофа [16] и т.д. При эмпирическом способе построения обычно задаются видом математической модели и, далее, по результатам специально спланированных и проводимых экспериментов решается задача определения параметров заданной модели [6]. Сформулированная задача называется задачей параметрической идентификации модели. Так, например, для простейшей линейной колебательной системы (5.2) необходимо определить единственный параметр системы – частоту колебаний .

Рассмотрим теоретический способ построения математической модели малых свободных колебаний динамической системы со многими степенями свободы на основе так называемых уравнений Лагранжа. Такой способ построения математической модели применяется как в механике [5], так и в радиоэлектронике [16]. В этом случае для построения математической модели достаточно знать (или построить) две функции: кинетической ( ) и потенциальной ( ) энергий.

Введем в рассмотрение вектор переменных состояния колебательной системы (матрица – столбец), где - число степеней свободы, и вектор соответствующих производных по времени (скоростей) , где . Потенциальная энергия по своему определению зависит только от вектора состояния: , а кинетическая энергия – от вектора состояния и вектора скоростей: . Уравнения Лагранжа имеют вид

, (5.5)

где .

Причем кинетическая энергия является в прикладных задачах [5],[16] квадратичной формой скоростей

, (5.6)

где - квадратная матрица размерностью , компоненты которой являются функциями переменных состояния , - матрица-строка.

Малые колебания системы (5.5) рассматриваются в окрестности ее устойчивых положений равновесия, которые определяются из условия равенства нулю правых частей дифференциальных уравнений (5.5), то есть

, (5.7)

где . Следовательно, положения равновесия системы (5.5) являются экстремальными точками функции потенциальной энергии. Кроме того, для выделения из всех возможных положений равновесия устойчивых положений используется теорема Дирихле-Лагранжа [5].

Теорема. Положение равновесия, определяемое из условий (5.7), системы (5.5) устойчиво по Ляпунову, если в этом положении равновесии потенциальная энергия системы имеет изолированный минимум.

Теорема Дирихле-Лагранжа определяет достаточные условия устойчивости положений равновесия, при этом изолированность минимума означает, что существует некоторая окрестность минимума не содержащая других точек минимума. Для упрощения дальнейших выкладок условимся, что координаты системы будем отсчитывать от исследуемого положения равновесия, тогда в положении равновесия имеем . Кроме того, известно [5], что потенциальная энергия систем определяется с точностью до произвольной постоянной. Выберем эту постоянную так, чтобы в положении равновесия потенциальная энергия системы равнялась нулю

. (5.8)

Как известно из математического анализа функций нескольких переменных [17], условия (5.7) представляют собой необходимые условия экстремума дифференцируемой функции , а достаточными условиями изолированного минимума дифференцируемой функции является положительная определенность квадратичной формы

, (5.9)

где - компоненты матрицы вторых производных, определенные в положении равновесия. Необходимые и достаточные условия положительной определенности квадратичной формы определяются условиями Сильвестра

, .

Проведем вывод приближенных дифференциальных уравнений малых колебаний системы (5.5). Для этого разложим функцию в точке в ряд Тейлора как функцию нескольких переменных

, (5.10)

где .

При малых колебаниях (малых отклонениях от положения равновесия) можно пренебречь в выражении (5.10) слагаемыми порядка выше второго (по степеням ), тогда с учетом (5.7),(5.8) получим

. (5.11)

Соответственно для кинетической энергии , представляющей собой квадратичную форму скоростей, при малых колебаниях используется приближенное выражение

, (5.12)

где - квадратная матрица размерностью , представляющая собой матричную функцию , определенную в положении равновесия.

Подставим квадратичные формы (5.11),(5.12) в уравнения Лагранжа (5.5), записав их также в матричной форме

. (5.13)

Тогда, используя правила дифференцирования квадратичных форм (см. Приложение 3), получим

, , , (5.14)

где .

Подставив соотношения (5.14) в уравнения Лагранжа (5.13), найдем линейную систему уравнений малых колебаний динамической системы (5.13) в матричной форме

. (5.15)

Эта система в обычной форме имеет вид

,

(5.16)

.

В теории колебаний доказывается [12], что если выполняются условия теоремы Дирихле-Лагранжа (в частности, выполняются условия Сильвестра для квадратичных форм (5.11) и (5.12)), то решения системы (5.16) имеют периодический или почти периодический характер и ищутся в виде

, (5.17)

где и - произвольные постоянные, - скалярный параметр, характеризующий частоты колебаний систем (5.15) и (5.16).

Подставив решение (5.17) в систему (5.15), получим однородную систему линейных алгебраических уравнений вида

. (5.18)

Система линейных уравнений иметь ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель

. (5.19)

Соотношение (5.19) фактически представляет собой характеристическое уравнение системы (5.15) относительно параметра . После раскрытия определителя соотношение (5.19) преобразуется в многочлен -ой степени по параметру и имеет ровно положительных корней: , где . В теории колебаний показывается [12], что положительность корней обеспечивается положительной определенностью квадратичных форм (5.11) и (5.12). Совокупность положительных значений , где , определяет собственные частоты малых колебаний системы (5.15), поэтому уравнение (5.19) иногда называют частотным уравнением. В теории малых колебаний обычно рассматривается случай, когда среди корней частотного уравнения (5.19) нет кратных (равных). В этом случае каждой собственной частоте системы соответствует ненулевой собственный вектор , который находится из условия

. (5.20)

Из однородности системы (5.20) следует, что любой собственный вектор определяется с точностью до множителя, что характерно для любой линейной динамической системы (см. Приложение 1). После определения собственных частот и собственных векторов можно записать общее решение линейной однородной системы (5.15), которое будет иметь вид

, (5.21)

где и ( ) - произвольные постоянные, определяемые из начальных условий , .

Таким образом, колебание любой переменной системы ( ) представляет собой суперпозицию колебаний системы с собственными частотами ( ).