5.4. Метод усреднения

Рассмотрим колебательную систему с одной степенью свободы, на которую действует некоторая возмущающая функция (5.31)

. (5.35)

При получаем невозмущенную систему (5.32), которая имеет решение (5.33). Решение для производной в этом случае будет иметь вид

. (5.36)

Приведем исходное уравнение (5.35) к двум уравнениям первого порядка

, . (5.37)

Сделаем в системе (5.37) замену переменных

, . (5.38)

Вид замены переменных (5.38) повторяет решение невозмущенной системы (5.33),(5.36), однако при подстановке в возмущенную систему (5.37) параметры и уже считаются не постоянными. Эти параметры теперь будут зависеть от времени и будут изменяться согласно действующему на колебательную систему возмущению . Фактически в этом случае используется метод вариации произвольных постоянных. После подстановки замены (5.38) в систему (5.37) получим

,

.

Выразив из этой системы производные и , получим

, , (5.39)

где , и правые части дифференциальных уравнений согласно проведенной замене есть периодические функции угла с периодом .

Переход к переменным и называется переходом к переменным амплитуда – фаза и часто производится при применении метода усреднения [13],[14]. После приведения системы к виду (5.39) согласно методу усреднения проводится процедура усреднения системы по быстрой фазе , где . Усредненная система имеет вид

,

(5.40)

,

где скобками обозначается оператор усреднения, имеющий следующую форму

,

Причем интегралы по фазе берутся согласно принципу усреднения [13],[14] при постоянной амплитуде (считается, что амплитуда за период колебаний невозмущенной системы мало изменяется).

Полученная усредненная система (5.40) существенно проще исходной системы (5.39), так как ее первое уравнение

, (5.41)

может быть исследовано отдельно от второго уравнения. В частности, оно может быть проинтегрировано методом разделения переменных. После определения решения для амплитуды решение для фазы находится из второго уравнения системы (5.40) взятием квадратуры (интеграла по времени ).

Изложенный вариант метода усреднения принято связывать с именем голландского инженера Ван-дер-Поля, впервые применившего описанную процедуру усреднения при исследовании нелинейных колебаний [13]. Современный вариант метода усреднения включает в себя метод Ван-дер-Поля как нулевое приближение, при этом приближенные решения метода усреднения ищутся в виде асимптотического ряда

,

где , ,… - ограниченные функции, периодичные по фазе , подлежащие определению.

Более общий вариант метода усреднения будет рассмотрен ниже для системы с двумя быстрыми фазами.

5.5. Метод усреднения для системы с одной степенью свободы

Метод усреднения позволяет исследовать колебания в нелинейных системах, в частности, обнаружить и изучить такие эффекты присущие только нелинейным системам, как режимы автоколебаний. Под автоколебаниями понимают колебания с постоянной или с почти постоянной амплитудой, которые поддерживаются несмотря на неизбежные потери энергии в системе. Для существования автоколебаний необходим приток энергии в систему, причем источник энергии обычно не обладает колебательными свойствами. Примером возникновения автоколебаний может служить колебательный контур [16] при наличии в нем нелинейного элемента, на который подается дополнительный ток специального вида. Если рассматривается возникновение автоколебаний в системе с одной степенью свободы, то режиму автоколебаний на фазовой плоскости ( ) соответствует некоторая замкнутая кривая, которая называется предельным циклом.

Определение. Замкнутая траектория на фазовой плоскости называется предельным циклом, если она изолирована от других замкнутых траекторий.

Замкнутая траектория называется изолированной от других замкнутых траекторий, если существует некоторая окрестность этой траектории, не содержащая других замкнутых траекторий.

Замечание. Замкнутая траектория, существующая в окрестности особой точки типа центра, не является предельным циклом, так как любая ее окрестность содержит другие замкнутые траектории.

Известна теорема о существовании предельных циклов в системах, к которым применим метод усреднения.

Теорема [14],[19]. Пусть усредненная система имеет невырожденное положение равновесия, отличное от нуля. Тогда исходная система имеет предельный цикл. Если все собственные значения усредненной системы, линеаризованной около этого положения равновесия, имеют отрицательные вещественные части, то цикл асимптотически устойчив. Если вещественная часть хотя бы одного из собственных значений положительна, то цикл неустойчив.

Положение равновесия называется невырожденным, если линеаризованная около него система не имеет нулевых собственных значений [19].

Поясним эти теоретические положения на примере системы с одной степенью свободы (5.35), имеющую усредненную систему вида (5.41). Пусть

есть некоторый корень функции , отличный от нуля. Тогда уравнение в отклонениях от этого корня (линеаризованное уравнение) будет иметь вид

, (5.42)

где производная от функции определяется в положении равновесия . Так как мы имеем дело с одномерным случаем, то значение этой производной совпадает с собственным значением линеаризованного уравнения. Таким образом, при цикл будет устойчив, а при неустойчив.

Пример. Характерным примером определения предельных циклов является исследование известного уравнения Ван-дер-Поля

, (5.43)

где и - некоторые постоянные.

Усредненное уравнение для (5.43) ищется в форме (5.40), где возмущающая функция имеет вид . Подставляя в эту функцию замену (5.38), получим

.

Проводя процедуру усреднения (5.40), приходим к приближенному уравнению

, (5.44)

описывающему усредненное движение исходного уравнения Ван-дер-Поля.

Здесь для упрощения обозначений верхний индекс у переменной опущен.

При этом

.

Уравнение (5.44) имеет невырожденное положение равновесия, отличное от нуля, когда параметры и тоже отличны от нуля и имеют разные знаки. Причем . Нетрудно проверить, что при и цикл будет асимптотически устойчив, а при и - нет.

5.6. Метод усреднения для систем с несколькими быстрыми фазами

При анализе движения колебательных систем с несколькими степенями свободы используется усреднение по нескольким быстрым фазам. Рассмотрим формальную процедуру построения асимптотических решений для таких систем с помощью метода усреднения [13]. Стандартная система с быстрыми фазами имеет вид

, , (5.45)

где - вектор медленных переменных системы, вектор быстрых фаз, - вектор-функция частот системы, и - вектор-функции, периодически зависящие от фаз с периодом .

Асимптотические решения системы (5.45) будем искать в виде следующих рядов по малому параметру

,

(

. (5.46)

Здесь и - усредненные переменные системы, и ( ) - неизвестные функции, подлежащие определению и имеющие нулевое среднее , где усреднение производится независимо по всем быстрым фазам.

Ряды (5.46) можно рассматривать как своеобразную замену переменных . Причем новые переменные должны удовлетворять уравнениям, правые части которых не содержат фазы (усредненные уравнения)

, , (5.47)

где функции также определяются в процессе построения асимптотических решений.

Рассмотрим определение асимптотических решений для медленных переменных (построение решений для фаз проводится аналогично).

Подставляя замену переменных (5.46) в первое уравнение системы (5.45) и раскладывая функцию в ряд Маклорена по параметру , получим

, (5.48)

где .

Определяя производные в соответствии с выражениями (5.47), представим соотношение (5.48) в виде

(5.49)

В соответствии с общей схемой построения асимптотических разложений приравняем далее в выражении (5.49) слагаемые при одинаковых степенях . Тогда

,

…………………… (5.50)

,

где - функции, периодичные по фазам с периодом .

Аналогично могут быть получены решения для быстрых переменных [13].

Замечание. В левой части дифференциальных уравнений (5.50) стоят выражения , которые в многомерном случае следует понимать как скалярные произведения соответствующих векторных функций, например,

.

Дифференциальные уравнения (5.50) представляют собой линейные дифференциальные уравнения с периодической правой частью, поэтому для их решения воспользуемся методом Фурье [13].

Так как все дифференциальные уравнения решаются одинаково, рассмотрим, например, первое уравнение системы (5.50). Будем искать его решение в виде ряда Фурье [12]

(5.51)

где - коэффициенты ряда Фурье, - целые числа (индексы ряда), - -кратные суммы.

Причем из условия равенства нулю усредненной функции следует . В соответствии с методом Фурье разложим функцию также в ряд Фурье

. (5.52)

Подставляя ряды (5.51) и (5.52) в дифференциальное уравнение для (5.50) и приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, получим

. (5.53)

Для обеспечения равенства нулю среднего от функции неизвестную функцию следует выбрать из условия , то есть функция определяется как среднее от функции по фазам , а именно

,

что соответствует принципу усреднения [13].

Аналогично могут быть решены все уравнения, входящие в систему (5.50), при этом

.

Параллельно определению функций по тому же алгоритму производится определение функций [12] при решении дифференциальных уравнений для функций .

Найденными решениями метода усреднения можно пользоваться при условии

, (5.54)

в противном случае функции , становятся неограниченными, а ряды (5.46) уже не будут удовлетворять определению асимптотического ряда (Приложение 4).

Однако даже в этом случае ряды (5.46) не являются бесполезными, так как их анализ позволяет определить резонансы, возникающие в исследуемой системе уравнений [12]. Резонанс в системе возникает при выполнении двух условий: 1) соответствующие коэффициенты ряда Фурье (5.52) отличны от нуля ; 2) обращается в ноль или близка к нулю целочисленная комбинация частот , входящая в знаменатель выражения (5.53). Резонансные случаи движения системы (5.45) требуют особого рассмотрения и соответствующей модификации процедуры усреднения [12],[13].

Применение метода усреднения для анализа и управления колебательными системами обосновывается рядом теорем [14],[15],[19], наиболее важной из которых является теорема Боголюбова Н.Н. [14]. Не формулируя эту теорему полностью из-за ее громоздкости, перечислим основные условия применения метода усреднения.

1. Исходная система дифференциальных уравнений, например (5.45), должна удовлетворять стандартным условиям теоремы о единственности и существовании решений [1] при некоторых начальных условиях , где - начальное время.

2. Существуют и могут быть определены средние от функций , , стоящих в правых частях системы (5.45).

3. Метод усреднения имеет смысл применять только при достаточно малом значении малого параметра , который определяет погрешность решений усредненной системы: , где - некоторая норма (обычно евклидова), причем при .

При использовании процедуры усреднения для системы с быстрыми фазами (5.45), описанной выше, к перечисленным условиям необходимо добавить еще условие отсутствия резонансов частот (5.54).