6.3. Влияние нелинейных возмущений на решение задачи оптимального управления

В разделах 6.1-6.2 было рассмотрено построение приближенно оптимального управления для линейных колебательных систем. Проведем анализ влияния нелинейных возмущений, не учитываемых ранее, на решение задачи оптимального управления. При использовании нелинейных моделей возможно два подхода: во-первых, можно учесть нелинейные слагаемые при построении оптимального управления; во-вторых, определять оптимальное управление только с учетом линейных слагаемых, но в этом случае необходимо указать ту область фазовой плоскости, где задача определения оптимального управления будет иметь решение. Первый подход существенно усложняет решение задачи оптимального управления, так как приходится решать в общем случае нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных (например, вида (6.38)) относительно функции Ляпунова. Кроме того, первый способ можно применить если известны нелинейные слагаемые, входящие в модель, что в прикладных задачах не всегда имеет место. Поэтому здесь рассмотрим лишь анализ возможного влияния нелинейных слагаемых на решение задачи оптимального управления, определенного исходя из линейной модели.

Рассмотрим сначала систему с одной степенью свободы (6.1). Нелинейную возмущающую функцию зададим в соответствии с классическим уравнением Ван-дер-Поля (5.43)

. (6.46)

Получение усредненного уравнения Ван-дер-Поля при проведено разделе 5.3. Оно имеет вид

. (6.47)

Рассмотрим случай, когда параметр . Это приводит к неустойчивости положения равновесия . Возможные варианты поведения системы (6.47) определим, построив зависимости производной от амплитуды . Так как система (6.47) автономна (правые части не зависят от времени ), ее поведение полностью определяется знаком производной . На рис.6.2 и рис.6.3 соответственно приведены зависимости при и при . Рис.6.2 иллюстрирует поведение системы (6.47), когда всегда , и фазовый портрет системы аналогичен фазовому портрету неустойчивого фокуса (рис.4.1). Рис.6.3 иллюстрирует поведение системы, когда производная меняет знак при ( , ) и при этом значении амплитуды система имеет устойчивый предельный цикл.

Определим приближенно оптимальное управление системой (6.46) с учетом линейного слагаемого пропорционального параметру . Аналогичная задача была решена в разделе 6.1, где управление определялось функцией (6.18) с учетом (6.17) (необходимо только положить ). Тогда, подставив управление (6.18) в уравнение (6.46) и проводя усреднение по фазе , получим

, (6.48)

где .

Следовательно, структура усредненной системы с управлением (6.48) осталась такой же, как и без управления, только изменился знак параметра , что вне зависимости от первоначального знака параметра приводит к асимптотической устойчивости решения усредненной системы (6.48). При этом изменяется вид зависимости для системы с управлением. Так, система, поведение которой соответствует зависимости, изображенной на рис.6.2, переходит в систему, где имеется неустойчивый предельный цикл (рис.6.4). А система, где имелся устойчивый предельный цикл (6.3), переходит в систему (рис. 6.5), фазовый портрет которой аналогичен устойчивому фокусу. В последнем случае область решения задачи стабилизации ограничена начальными значениями амплитуды из интервала . Графики, приведенные на рис. 6.2 и рис.6.4, построены при следующих исходных данных: , . На графиках, приведенных на рис.6.3 и рис.6.5, изменено значение параметра .

Рассмотрим теперь систему с двумя степенями свободы (6.32-6.33). Возможное влияние нелинейных слагаемых на решение задачи оптимизации проанализируем на примере нелинейного возмущения вида

, ,

где - заданные параметры.

Для анализа движений в системе (6.32-6.33) воспользуемся методом усреднения, изложенным в разделе 5.7. Сначала рассмотрим систему (6.32-6.33) без управления ( ). Делая в системе (6.32-6.33) замену переменных (5.61) и повторяя преобразования раздела 5.7, получим усредненную для амплитуд колебаний (5.66) в виде

, . (6.49)

После подстановки замены переменных (5.61) в функцию и усреднения по фазам , получим

, (6.50)

. (6.51)

Система (6.50-6.51) при разных знаках параметров имеет четыре особые точки, определяемые из условий :

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) .

Тип этих особых точек устанавливается посредством анализа собственных значений линеаризованной системы (5.68) путем решения характеристического уравнения (5.69). Для построения фазового портрета системы (6.50) на плоскости ( ) зададим конкретные значения параметрам : и . Вычисляя координаты особых точек, получаем

1) , ; 2) , ;

3) , ; 4) .

Если и , то вычисляя собственные значения из решения характеристического уравнения (5.69) нетрудно установить, что первая особая точка является неустойчивым узлом ( и ), вторая и третья точки – устойчивыми узлами ( и ), а четвертая точка – седлом ( и ). Тогда, в силу теоремы о существовании предельных циклов (раздел 5.5), в рассматриваемой системе возможны устойчивые автоколебания с амплитудами , близкими к значениям , (вторая точка) и к значениям ) , (третья точка). В четвертой точке также существует предельный цикл, но он неустойчив. Фазовый портрет усредненной системы показан на рис.6.6 и построен непосредственным численным интегрированием системы (6.50-6.51) с различными начальными условиями по амплитудам .

Если параметры имеют одинаковые знаки, то в системе имеется только одна особая точка , , которая является узлом. При и узел будет устойчивым, а при и - неустойчивым. Фазовый портрет системы в этом случае изображен на рис.6.7 ( ).

Рассмотрим теперь систему (6.32-6.33) с управлением. При определении оптимального управления в функции учтем только линейное слагаемое пропорциональное параметру . В этом случае оптимальное управление определится из выражения (6.37), а функция Ляпунова – из уравнения Беллмана (6.40). Подставляя функцию в уравнение (6.40), усредняя по фазам и приравнивая к нулю коэффициенты при и , получим

,

, (6.52)

.

Откуда получаем , а коэффициенты , определяются из первых двух уравнений системы (6.52) как решения квадратных алгебраических уравнений. Причем для выполнения условий Сильвестра необходимо выбрать положительные корни , . Усредненная система с управлением (6.41) будет иметь вид

, (6.53)

, (6.54)

где - пересчитанный с учетом управления коэффициент .

Особенностью усредненной системы (6.53-6.54) с управлением является то, что собственные значения линеаризованной относительно начала координат системы отрицательны , , что обеспечивается выполнением условий Сильвестра для функции Ляпунова (положительная определенность этой функции). Поэтому для рассмотренного примера коэффициент . Здесь следует также отметить, что нелинейные слагаемые систем (6.50-6.51) и (6.53-6.54) одинаковы, так как управление выбиралось только с учетом линейных слагаемых исходной системы.

Нетрудно заметить, что структура усредненных систем (6.50-6.51) и (6.53-6.54) одинакова, поэтому возможные фазовые портреты системы (6.53-6.54) те же самые, что и системы (6.50-6.51) (рис.6.6 и рис.6.7). Разница состоит лишь в том, что особая точка системы (6.53-6.54) всегда асимптотически устойчива ( ).

После того, как стали известны структура и возможные фазовые портреты систем без управления (6.50-6.51) и с управлением (6.53-6.54), можно установить возможные изменения фазового портрета системы после введения оптимального управления. Для рассмотренного примера могут иметь место следующие случаи: 1) система, первоначально имеющая четыре особые точки (рис.6.6), после введения управления превращается в систему, имеющую одну устойчивую точку (рис.6.7) (предельные циклы исчезают); 2) система, первоначально имеющая одну неустойчивую особую точку (рис.6.7), превращается в систему имеющую четыре особые точки (рис.6.6). Причем в последнем случае узлы, расположенные на осях координат являются неустойчивыми, а четвертая особая точка остается седлом, то есть в системе имеются только неустойчивые предельные циклы. Второй случай характерен еще и тем, что влияние нелинейных слагаемых приводит к тому, что область решения задачи стабилизации является ограниченной и определяется положением сепаратрис седла (рис.6.6).

Рис. 6.2 ( , )

Р ис. 6.3 ( , )

Рис. 6.4 ( , )

Р ис. 6.5 ( , )

Рис. 6.6

Рис. 6.7

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Тихонов А.Н., Васильева А.В., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1986. 232 с.

2. Математическая теория оптимальных процессов // Понтрягин Л.С. и др. М.: Наука, 1976, 392 с.

3. Летов А.М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969, 360 с.

4. Демидович Б.П. Лекции по теории устойчивости. М.: Наука, 1967, 472 с.

5. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Часть 2. М.: Наука, 1972, 332 с.

6. Гроп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979, 304 с.

7. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.

8. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984, 320 с.

9. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986, 288 с.

10. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на фазовой плоскости. М.: Наука, 1976, 496 с.

11. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981, 568 с.

12. Заболотнов Ю.М. Теория колебаний. Самара: СГАУ, 1999, 168 с.

13. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1980, 400 с.

14. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974, 504 с.

15. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980, 384 с.

16. Основы теории колебаний // Мигулин В.В. и др. М.: Наука, 1978, 392 с.

17. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1973. 832 с.

18. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы. М.: Машиностроение, 1977, 464 с.

19. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.3. М.: АН СССР, 1985. с.5-304.

20. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 536 с.

21. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 328 с.

22. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1976. 384 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Подобные преобразования линейных динамических систем

Рассмотрим линейную динамическую систему вида

, (П1.1)

где - -мерный вектор состояния системы, - заданная квадратная матрица.

В разнообразных задачах исследования движения линейных систем часто бывает удобно воспользоваться линейным преобразованием

, (П1.2)

где - квадратная невырожденная матрица линейного преобразования.

Определение П1.1. Матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля: .

Подставляя замену переменных (П1.2) в систему (П1.1) нетрудно получить систему линейных динамических уравнений для новых переменных

, (П1.3)

где

. (П1.4)

Определение П1.2. Преобразование , где - невырожденная матрица, называется преобразованием подобия для матрицы .

Преобразования подобия обладают рядом важных свойств [8].

Утверждение 1. Преобразования подобия не изменяют собственных значений матриц.

Доказательство. Как известно [8], собственные значения матрицы определяются из решения алгебраического уравнения

, (П1.5)

где - единичная матрица, - скалярный параметр. Уравнение (П1.4) имеет ровно корней ( ), которые называются собственными значениями матрицы . Найдем собственные значения матрицы . Тогда

. (П1.6)

Используя основные свойства определителя от суммы и произведения матриц [8], найдем

.

Так как для невырожденной матрицы и , то корни уравнений (П1.5) и (П1.6) тождественно совпадают, а, следовательно, совпадают собственные значения матриц и , что и требовалось доказать.

Как известно [8], каждому собственному значению ( ) матрицы соответствует -мерный собственный вектор , который вычисляется исходя из решения однородной системы линейных алгебраических уравнений

, (П1.7)

где .

Утверждение 2. При проведении преобразования подобия (П1.4) собственные вектора матрицы изменяются, причем собственные вектора матриц и связаны соотношением

, (П1.8)

где собственные вектора матрицы , определяемые из соотношения

. (П1.9)

Таким образом, старые и новые ( ) собственные вектора связаны также, как старые и новые переменные состояния линейной динамической системы (П1.2).

Доказательство. Перепишем систему (П1.7) в виде . Так как преобразование (П1.4) можно записать в форме , то отсюда получим или, умножая слева, на найдем . Сравнивая эту систему с системой (П1.9), найдем , что тождественно (П1.8). Это и требовалось доказать.

Замечание. Собственный вектор матрицы всегда определяется с точностью до множителя, так как он находится из решения линейной однородной системы (П1.7). Поэтому всегда одну из компонент вектора можно задать произвольно (например, равной единицы), а остальные компоненты определить из системы (П1.7).

Существенным при подобных преобразованиях является вопрос, к насколько простому виду может быть приведена матрица с помощью преобразования подобия. Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 3. Матрица подобна диагональной матрицы в том и только в том случае, если она имеет линейно независимых собственных векторов.

Доказательство. Пусть -мерные собственные вектора матрицы , соответствующие собственным значениям . Составим матрицу из собственных векторов , как из столбцов . Так как столбцы матрицы линейно независимы, то . Для каждого собственного вектора справедливо соотношение , где . Запишем эти соотношения в виде одного матричного равенства

, (П1.10)

где - диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят собственные значения матрицы . Умножим левую и правую часть равенства (П1.10) слева на , тогда . Таким образом, матрица с помощью подобного преобразования приведена к диагональному виду, что и требовалось сделать.

Матрицы, удовлетворяющие утверждению 3, называются матрицами простой структуры [8].

Замечание. Если все собственные значения матрицы различны, то она подобна диагональной матрице, то является матрицей простой структуры [8].

Утверждение 4. Если - вещественная симметричная матрица, то есть , где - транспонированная матрица , то она подобна диагональной матрице, причем матрица преобразования является ортогональной [8].

Если матрица не обладает линейно независимыми векторами, то она обязательно имеет кратные собственные значения [8]. В этом случае матрица с помощью подобного преобразования может быть приведена к форме Жордана , где

, (П1.11)

где компоненты , если , и , если .

В жордановой форме (П1.11) обычно кратные собственные значения располагаются рядом. Поэтому в матрице имеются так называемые клетки Жордана. Так, например, двум кратным собственным значениям соответствует клетка Жордана вида , трем кратным собственным значениям - клетка Жордана вида

и т.д.

Утверждение 5. Любая квадратная матрица ортогонально подобна верхней треугольной матрице [8], то есть . Здесь

,

причем на главной диагонали треугольной матрицы стоят собственные значения матрицы : .

Утверждение 5 является теоретической основой для разнообразных численных методов поиска собственных значений матриц [9].

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Качественное исследование линейных динамических систем на фазовой плоскости

Очень часто для наглядности представления решений динамических систем второго порядка рассматривают их поведение на фазовой плоскости [10],[11],[12].

Рассмотрим линейную динамическую систему второго порядка вида

, , (П2.1)

где , - переменные состояния системы, , , , - заданные постоянные параметры системы. Состояние системы (П2.1) на фазовой плоскости ( , ) в любой момент времени определяется парой соответствующих значений переменных и . В процессе движения изображающая (фазовая) точка перемещается по фазовой плоскости, описывая фазовую траекторию. Совокупность фазовых траекторий представляет все возможные движения рассматриваемой системы и называется фазовым портретом системы.

Уравнения движения системы на фазовой плоскости можно получить, если известно решение , системы (П2.1), которое для линейных систем с постоянными параметрами может быть всегда найдено [1]. Тогда задаваясь различными начальными условиями для переменных , и строя фазовые траектории, можно получить представление о поведении системы на фазовой плоскости. Тоже самое можно сделать и с помощью численного интегрирования системы (П2.1). Однако такой подход построения фазовых портретов является нерациональным.

Другой подход использует свойство автономности системы (П2.1) (для автономной системы правые части не зависят от времени ). В этом случае время можно исключить из рассмотрения, поделив второе уравнение системы (П2.1) на первое. Тогда

. (П2.2)

Если уравнение удается проинтегрировать аналитически, то в этом случае его решение представляет собой уравнение фазовой траектории на фазовой плоскости. В любом случае уравнение (П2.2) позволяет определить направление касательной к фазовой траектории в любой точки фазовой плоскости, так как представляет собой тангенс угла, определяющего направление касательной относительно оси . В этом случае в каждой точке фазовой плоскости можно изобразить направление касательной и на ней стрелкой направление движения точки. Такой способ построения фазовых портретов как для линейных, так и для нелинейных динамических систем используется в некоторых современных математических пакетах, например, в пакете Maple.

Существуют точки на фазовой плоскости, в которых направление касательной к фазовой траектории не определенно. Такие точки фазовой плоскости называются особыми точками динамической системы второго порядка. Для линейной динамической системы (П2.1) существует одна особая точка, которая совпадает с началом координат . Можно получить представление о фазовом портрете линейной системы (П2.1) не находя ее решения и не анализируя уравнение касательных (П2.2), определяя лишь тип особой точки системы. Французский математик Пуанкаре А., анализируя решения системы (П2.1), показал, что линейная система второго порядка с постоянными параметрами может иметь в зависимости от собственных значений матрицы только следующие основные типы особых точек [10]

1. Если собственные значения и матрицы комплексные с положительными действительными частями, то особая точка называется неустойчивым фокусом и фазовая траектория представляет особой расскручивающуюся спираль (рис.4.1).

2. Если собственные значения и матрицы комплексные с отрицательными действительными частями, особая точка называется устойчивым фокусом и фазовая траектория представляет особой скручивающуюся спираль (рис. 4.2).

3. Если собственные значения и вещественны и положительны, то особая точка называется неустойчивым узлом (рис. П 1). Фазовая траектория системы в этом случае апериодически удаляется от начала координат.

4. Если собственные значения и вещественны и отрицательны, то особая точка называется устойчивым узлом. Она имеет такой же вид, что и неустойчивый узел (рис. П 1), только фазовая траектория системы в этом случае апериодически приближается к началу координат.

5. Если собственные значения и вещественны и разных знаков, то особая точка называется седлом (рис.4). В нее входят и из нее выходят две предельные траектории (сепаратрисы), остальные траектории удаляются от особой точки.

Собственные значения для линейной системы второго порядка (П2.1) определяются из условия

, (П2.3)

которое после раскрытия определителя сводится к решению квадратного уравнения.

Если определенные собственные значения системы соответствуют особым точкам типа «фокус», то в этом случае представление о фазовом портрете можно получить, вычислив лишь одну фазовую траекторию системы, например, с помощью некоторого численного метода (рис.4.1 и рис.4.2). Если собственные значения соответствуют особым точкам типа «седло» или «узел», то в этом случае необходимо определить положения некоторых предельных траекторий. Для седла это положение сепаратрис. Для узла (устойчивого или неустойчивого) это положение двух предельных прямых, причем одна из них является касательной ко всем фазовым траекториям, кроме одной, а другая представляет собой эту одну изолированную траекторию. Определим положение этих предельных прямых для особой точки типа «узел» ( те же самые формулы справедливы и для сепаратрис седла [11]).

Рассмотрим случай различных собственных значений линейной системы. Тогда с помощью линейного преобразования переменных матрица и, следовательно, и система (П2.1) может приведена к диагональной форме (см. Приложение 1)

, , (П2.4)

где , - главные координаты.

Поделим второе уравнение системы (П2.4) на первое, исключив время, тогда

, (П2.5)

где .

Уравнение нетрудно проинтегрировать аналитически

, (П2.6)

где - произвольная постоянная. Так как для узла собственные значения одного знака, то фазовые траектории представляют собой кривые параболического типа. Причем при все фазовые траектории (кроме одной ) на плоскости главных координат ( ) касаются оси . Если , то фазовые траектории (кроме одной ) касаются оси . Перейдем теперь обратно на фазовую плоскость ( ). Как известно (см. Приложение 1), связь между переменными и переменными имеет вид , где матрица составлена из собственных векторов матрицы . Обратное преобразование координат имеет форму . Так как на фазовой плоскости ( ) предельным прямым соответствуют координатные оси , то на фазовой плоскости ( ) этим прямым будут соответствовать прямые

, ,

где - компоненты обратной матрицы . В этом случае уравнения предельных прямых будут иметь вид

, , (П2.7)

где , - угловые коэффициенты.

Аналогично может быть рассмотрено определение сепаратрис для особой точки типа «седла». Повторяя приведенные выше преобразования нетрудно получить уравнение для фазовых траекторий, которое будет иметь тот же вид (П2.6), что и для узла. Только в этом случае , так как собственные числа разных знаков. Поэтому уравнение (П2.6) определяет семейство кривых гиперболического типа, имеющих обе оси координат асимптотами. Движение по одной сепаратрисе будет устойчивым. Этой сепаратрисе соответствует уравнение в системе (П2.4) с отрицательным собственным числом. Другая сепаратриса будет неустойчивой. Уравнения сепаратрис будет определяться теми же соотношениями (П2.7).

На рис.П1 и рис.П4 приводятся примеры построения фазовых портретов для особых точек типа «узел» и «седло».

Вид особой точки типа «узел»»

Рис. П 1

Большое значение для качественной теории динамических систем имеет понятие «грубости» системы. Свойство «грубости» системы можно трактовать как устойчивость вида фазового портрета системы по отношению к малым изменениям правых частей дифференциальных уравнений (П2.1). По отношению к особым точкам оно заключается в том, что при малых изменениях системы (П2.1) тип особых точек не изменяется. Строгое определение «грубости» системы дали А.А.Андронов и Л.С.Понтрягин [11]. Перечисленные выше пять основных типов особых точек являются «грубыми». Наряду с «грубыми» особыми точками существуют также «негрубые» особые точки, которые при малом изменении системы переходят в основные. Так, например, если собственные значения и являются чисто мнимыми, то мы имеем дело с особой точкой, являющейся переходной между устойчивым и неустойчивым фокусами. Такая точка получила название центра (рис.П5). Ясно, что малом при изменении правых частей или параметров системы центр переходит или в устойчивый, или в неустойчивый фокус. Поэтому «негрубые» особые точки представляют собой предельные случаи фазовых портретов системы, которые практически трудно реализовать в реальных динамических системах, так как их параметры обычно известны с некоторой погрешностью.

Вид особой точки типа «седло»»

Рис. П 2

О собая точка типа «центр»

Рис. П 3

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Дифференцирование функций с векторным аргументом

Рассмотрим скалярную функцию с векторным аргументом вида

, (П3.1)

где - матрица-столбец, ( ) – знак транспонирования.

Тогда под первой производной функции по вектору понимается матрица-столбец

.

Для линейной функции векторного аргумента

. (П3.2)

где - матрица-строка заданных коэффициентов, производная по вектору будет иметь вид

. (П3.3)

Здесь - матрица-столбец.

Для квадратичной формы, записанной в виде функции вектора

, (П3.4)

где - квадратная матрица размерностью , первая производная по вектору равна

, (П3.5)

что может быть проверено непосредственным дифференцированием и перемножением соответствующих определенных выше матриц.

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Основные понятия теории асимптотических рядов

Пусть некоторая функция малого параметра . В теории асимптотических рядов обычно изучают поведение функций при . Это поведение характеризуется:

1. Величиной предела .

2. Скоростью стремления к заданному пределу.

Если предел существует, то возможны следующие случаи: а) ;

б) ; в) . Причем случаи (а) и (б) можно объединить в один, если ввести функцию .

Чтобы охарактеризовать скорость стремления функции к нулю (или к бесконечности) при , ее сравнивают со скоростью стремления к нулю (или к бесконечности) некоторых известных элементарных функций, которые называют калибровочными. За калибровочные функции обычно принимают следующие: 1, , ,…, , ,…, , ,…, , ,… . Для сравнения скоростей стремления к нулю (или к бесконечности) функций и определяют предел их отношения и по его значению судят о поведении функции при .

Возможны следующие случаи:

1. Если , то пишут и говорят, что функция асимптотически приближается к функции или является асимптотическим приближением для .

2. Если , то пишут и говорят, что порядок функции меньше, чем порядок функции .

3. Если , то пишут и говорят, что функция имеет порядок, не превосходящий порядка функции или упрощенно: функция имеет порядок .

Символы , и характеризуют порядок функции и получили название символы порядка. Очевидно, что символы порядка и являются частными случаями по отношению к символу , когда или , то есть они содержат больше информации о порядке функции , чем символ .

Примеры.

или ;

или ;

или ;

или ,

где - любое натуральное число.

Первые три предела находятся с помощью разложения функций и в ряды Тейлора в точке . Последний предел определяется введением нового параметра , после этого полученная неопределенность в пределе раскрывается -кратным применением правила Лопиталя, то есть

,

Следовательно, функция стремится к нулю быстрее любой степени параметра .

На основании описанных определений введем понятие асимптотического ряда. Рассмотрим некоторый ряд при , где - вещественные коэффициенты, полученный каким-либо способом для функции и определенный в некоторой ограниченной области , где - постоянная.

Определение. Ряд называется асимптотическим рядом функции тогда и только тогда, когда

при . (П4.1)

Условие (П4.1) эквивалентно условию

при ,

так как , где .

Таким образом, ошибка, совершаемая при усечении асимптотического ряда по определению имеет порядок первого отброшенного члена ( ) и, следовательно, стремится к нулю со скоростью порядка . Это определение асимптотического ряда соответствует определению, данному французским математиком Пуанкаре, поэтому асимптотический ряд иногда называют асимптотическим рядом Пуанкаре.

Как известно, наряду с асимптотическими рядами существуют сходящиеся ряды. Введем в рассмотрение частичную сумму ряда .

Определение. Ряд называется сходящимся, если существует .

В этом случае величина называется суммой ряда и пишется . Если последовательность частичных сумм не имеет предела, то ряд называется расходящимся. Определение асимптотического ряда никак не связано с определением сходящегося ряда, поэтому асимптотический ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся, однако в любом случае он может быть полезен при приближенном вычислении функции , так как ошибка, возникающая при усечении асимптотического ряда, может быть сделана сколь угодно малой надлежащим выбором параметра . Обратно, при заданном значении параметра , оценка величины ошибки может быть произведена путем оценки величины последнего отброшенного члена асимптотического ряда.

Численные расчеты на компьютере приближенных решений алгебраических и дифференциальных уравнений показывают [20], [21] показывают, что возникающая погрешность вычислений, соответствующая асимптотическим и сходящимся рядам, ведет себя в зависимости от количества учтенных членов ряда по разному. Если для сходящихся рядов она монотонно уменьшается с ростом ( ), то для асимптотических рядов погрешность уменьшается только до определенного номера , а затем начинает увеличиваться. Причем, как правило, этот номер небольшой. Поэтому при использовании асимптотических рядов для приближенного вычисления функций не имеет смысла определять большое число членов ряда. В практических расчетах обычно ограничиваются лишь несколькими первыми членами асимптотического ряда. С другой стороны, сходящиеся ряды обладают, как правило, медленной сходимостью, поэтому для достижения заданной точности вычислений необходимо брать большое количество членов. Обычно при использовании небольшого числа членов ряда асимптотические ряды дают большую точность вычислений по сравнению со сходящимися рядами.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Усреднение тригонометрических функций

Основываясь на разложении функций и для четных степеней [20]

,

,

где - мнимая единица, и учитывая, что средние значения функций

,

при , нетрудно получить следующие часто встречающиеся средние

, ,

. (П5.1)

Здесь следует заметить, что, если под знаком средней величины в любом сочетании встречаются нечетные степени тригонометрических функций и , то соответствующие средние будут равны нулю.