5.7. Метод усреднения для системы с двумя степенями свободы

Рассмотрим колебательную динамическую систему с двумя степенями свободы вида (5.16) при действии на нее возмущающей векторной функции , записав ее в скалярной форме

, (5.55)

, (5.56)

где ( ) – заданные коэффициенты.

При получаем невозмущенную систему

,

.

Определим решение этой системы в виде (5.21)

,

(5.57)

,

где собственные вектора находятся из условия (5.20)

, (5.58)

а собственные частоты из уравнения (5.19)

. (5.59)

Обычно матрицу собственных векторов представляют в виде

,

где параметры , называются в теории колебаний коэффициентами распределения и вычисляются из уравнения (5.58) в виде

.

Применим к исследованию возмущенной системы (5.55-5.56) метод усреднения (метод Ван-дер-Поля), используя методику подробно изложенную в разделе 5.4 для системы с одной степенью свободы. В соответствии с этим приведем систему (5.55-5.56) к системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка

, ,

(5.60)

Сделаем в системе в соответствии с видом решения (5.57) замену переменных

,

,

,(5.61)

где в качестве новых переменных в соответствии с методом вариации произвольных постоянных взяты амплитуды , и начальные фазы , . После подстановки замены (5.61) в систему (5.60) и проведения дифференцирования получится система линейных алгебраических уравнений относительно производных , , , вида [22] где , - фазы, , , , .

Решая эту систему методом Крамера, например, относительно , найдем

,

где определители системы , .

Поэтому

. (5.62)

Аналогично для других производных

, (5.63)

, (5.64)

. (5.65)

При определении уравнений (5.62-5.65) учитывается, что

, .

Система (5.62-5.65) представляет собой преобразованную к другим переменным исходную систему (5.55-5.56) , причем правые части этой системы в силу сделанной замены переменных периодичны по фазам , с периодом .

Поэтому усредняя правые части уравнений (5.62-5.63) по быстрым фазам , получим

, , (5.66)

где

, ,

,

.

Исследование усредненной системы (5.66) осуществляется в следующем порядке:

1. определяются особые точки системы (5.66) из условий

, , (5.67)

которые должны выполняться одновременно;

2) после нахождения особых точек для исследования их устойчивости составляют линеаризованную относительно систему, тогда

, , (5.68)

где ( ) , , .

3. записывают характеристическое уравнение системы (5.68)

, (5.69)

откуда определяются собственные значения и .

По значению собственных чисел и судят об устойчивости или неустойчивости стационарных значений , о типе особой точки (см. приложение 2) и о наличии предельных циклов в системе. Здесь используется теорема, приведенная в разделе 5.5, которая остается справедливой и для систем с двумя степенями свободы.

6. Приближенно оптимальное управление динамическими колебательными системами

6.1. Управление линейной колебательной системой с одной степенью свободы

Рассмотрим колебательную динамическую систему с одной степенью свободы (5.31) при действии на нее возмущающей функции и управления

. (6.1)

В системе (6.1) - заданный параметр управления, который предполагается малым (масштабируется малым параметром ), что является обычным предположением при управлении колебательными системами [15]. Дело в том, что управляемое движение системы должно оставаться по характеру колебательным, что может быть гарантировано только при достаточно малых возмущающих функциях.

Поставим задачу о переводе системы (6.1) из некоторой точки фазовой плоскости в начало координат исходя из минимума функционала вида

, (6.2)

где и - заданные весовые коэффициенты критерия оптимальности, - амплитуда колебаний.

Вид критерия оптимальности отличается от классического, так как при построении приближенно оптимального управления будет применяться метод усреднения, который позволяет управлять только медленными переменными системы. В системе с одной степенью свободы к медленно изменяющимся переменным относится амплитуда, что следует из вида системы (5.39), записанной в переменных амплитуда – фаза. Таким образом, ставится задача о переводе системы, имеющей некоторую заданную амплитуду , в начало координат .

Осуществляя в системе (6.1) переход к новым переменным амплитуда – фаза (аналогичные преобразования описаны в разделе 5.4), получим

,

(6.3)

.

Применим к системе (6.3) принцип Беллмана (подробно описанный в разделе 3), приводящий к условию (3.9), которое для системы (6.3) примет вид

. (6.4)

Подставив в соотношение (6.4) производные и из системы (6.3), получим

. (6.5)

Выделяя в этом выражении отдельно слагаемые, зависящие от управления , получим функцию

.

Необходимое условие минимума этой функции по управлению будет иметь вид

, (6.6)

Причем выполняется достаточное условие минимума .

Поэтому оптимальное управление определится из условия (6.6) в виде

. (6.7)

Подставляя управление (6.7) в условие (6.5) и приводя подобные члены, получим уравнение Беллмана для динамической системы (6.3)

. (6.8)

Из уравнения (6.8) необходимо определить функцию . Решение данного уравнения не может быть найдено в виде полинома методом, изложенным в разделе 3, так как вид функции должна быть в этом случае совсем другой. В частности, функция должна быть периодична по фазе . Поэтому решим дифференциальное уравнение в частных производных (6.8) совместно с уравнениями системы (6.3) приближенно методом усреднения. В соответствии с этим методом будем искать решение этих уравнений в виде асимптотических рядов

,

,(6.9)

,

где - новые переменные системы (6.3), а функции ( ) подлежат определению. Причем в соответствии с принципом усреднения .

Так как определение приближенных решений дифференциальных уравнений (6.3) проводилось ранее, рассмотрим здесь определение только решения уравнения (6.8).

Подставляя ряды (6.9) в уравнение (6.8) и учитывая, что ,

получим (с точностью до слагаемых порядка )

. (6.10)

Проводя усреднение соотношения (6.10) и учитывая, что , в первом приближении найдем

. (6.11)

Далее при написании переменной для простоты индекс будет опущен. В случае, когда возмущающая функция содержит только линейные слагаемые по , решение уравнения (6.11) может быть найдено в виде квадратичной функции

, (6.12)

методом неопределенных коэффициентов. Причем, для обеспечения условия асимптотической устойчивости решения усредненной системы в соответствии с методом Ляпунова функция должна быть положительно определена, то есть необходимо потребовать чтобы . После подстановки функции в выражение для определения оптимального управления (6.7), получим

, (6.13)

где выписаны лишь члены порядка единицы, так как после подстановки выражения (6.13) в динамическую систему (6.3) слагаемые порядка умножаются еще и входят лишь во второе приближение метода усреднения.

Подставляя функцию (6.13) в дифференциальное уравнение (6.3) и учитывая выражение (6.12), после усреднения в первом приближении получим

, . (6.14)

Пример. Рассмотрим простой модельный пример определения оптимального управления для системы с одной степенью свободы вида

, (6.15)

где - заданные положительные параметры.

Решим задачу поиска оптимального управления о переводе системы из некоторой точки фазового пространства ( ) в начало координат в соответствии с критерием оптимальности (6.2). Предварительно заметим, что в силу положительности параметров движение системы без управления неустойчиво, а фазовый портрет системы соответствует неустойчивому фокусу (рис.4.1). Для системы (6.15) имеем . Поэтому, делая замену и подставляя ее в приближенное уравнение Беллмана (6.11), получим

. (6.16)

Учитывая, что и подставляя функцию (6.12) в уравнение (6.16), приходим к квадратному уравнению относительно коэффициента вида

,

имеющему решение

. (6.17)

Из двух решений выбираем положительное решение , что гарантирует положительную определенность функции (6.12) и ведет, как показано в разделе 3.4, к асимптотической устойчивости решения для усредненной системы.

При этом приближенно оптимальное управление (6.13) примет вид

. (6.18)

Приближенно оптимальное управление (6.18) в исходных переменных будет иметь вид

. (6.19)

После подстановки управления (6.17) в уравнение для амплитуды (6.14) и усреднения по фазе, получим уравнение

,

где - собственное значение линейной усредненной системы, отрицательность которого ведет к асимптотической устойчивости решения .

Проведем сравнение полученного приближенно оптимального управления (6.19) с оптимальным управлением, найденным классическим методом с использованием результатов раздела 4, для системы (6.15). Приведем эту систему к двум уравнениям первого порядка

, , (6.20)

где , , и возьмем при определении оптимального управления функционал в виде

, (6.21)

который совпадет с критерием (6.2) при , .

Составляя уравнение Беллмана (3.16) для системы (6.20), получим

. (6.22)

Определяя функцию в виде , подставляя ее в уравнение (6.22) и приравнивая к нулю коэффициенты при подобных слагаемых, получим

,

, (6.23)

.

Последовательно решая систему алгебраических уравнений (6.23), найдем

,

, (6.24)

.

Оптимальное управление находится из выражения (3.15) в виде

, (6.25)

где коэффициенты обратной связи определяются формулами

, . (6.26)

Для сравнения оптимальных решений управление (6.25) удобно представить в другом виде, умножив на параметр

, (6.27)

где

, . (6.28)

Проведем сравнение приближенно оптимального управления (6.19) и оптимального управления, полученного классическим методом (6.27). Ясно, что точность полученного приближенного управления будет зависеть от величины действующих возмущающих функций, то есть от значения малого параметра задачи . При достаточно малом значении малого параметра они должны быть приближенно равны. Поэтому управление (6.19) также умножим на и представим в виде

, (6.29)

где

. (6.30)

Раскладывая в ряд Маклорена коэффициенты по параметру , получим

, (6.31)

причем , , ,

где .

Поэтому с точностью до слагаемых порядка , получим

, ,

где коэффициент определяется выражением (6.30).

Таким образом, приближенно оптимальное управление (6.29), определенное с использованием метода усреднения, с точностью до слагаемых порядка совпадает с оптимальным управлением (6.25), найденным классическим методом.

Приведем пример расчета и сравнения приближенно оптимального и оптимального управления при следующих значениях параметров системы (6.15) и критерия оптимальности (6.21): , .

Определенные приближенно оптимальное и оптимальное управления имеют вид:

, .

На рис.6.1 показано сравнение приближенно оптимальной (сплошная линия) и оптимальной траекторий (пунктирная линия), при этом значения

критерия оптимальности соответственно равны и на интервале времени .

Р ис.6.1