4.2. Решение уравнения Беллмана для линейных нестационарных динамических систем

При рассмотрении линейных нестационарных систем предполагается, что матрица и вектор зависят от времени вследствие зависимости от времени программного оптимального управления (см. раздел 1.2). В этом случае перепишем систему (1.8) в следующем виде

, (4.8)

где и - известные функции времени.

Решается та же задача оптимального управления о переводе системы (4.8) из начального положения в начало координат с критерием оптимальности

. (4.9)

Решение данной задачи проводится также как для стационарной системы (3.11), отличие лишь заключается в том, что функция явно зависит от времени: . Поэтому соотношение (3.9), выражающее принцип оптимальности Беллмана, для системы (4.8) примет вид

. (4.10)

Так как слагаемые, зависящие от управления , остались теми же как для стационарного случая, то вид оптимального закона управления тот же

. (4.11)

Подставляя выражение (4.11) в соотношение (4.10), получим уравнение Беллмана для нестационарной линейной системы (4.8)

. (4.12)

Решение уравнения Беллмана (4.12) ищем в виде квадратичной формы [3]

, (4.13)

где - определяемые компоненты матрицы .

Далее необходимо подставить квадратичную форму (4.13) в уравнение (4.12) и приравнять коэффициенты при одинаковых слагаемых. В результате получим

, (4.14)

где , и .

Систему обыкновенных дифференциальных уравнений (4.14) необходимо проинтегрировать по времени. В работе [3] предлагается определять коэффициенты методом численного интегрирования с учетом требуемых конечных граничных условий . Тогда можно задать и проинтегрировать систему (4.14) обратно с отрицательным шагом до начального времени . Если , то время берется достаточно большим, чтобы при его изменении в большую сторону величины практически не изменялись. После того, как с помощью этого способа определены функции , управление определяется из выражения (4.11) в виде

. (4.15)

Здесь

, (4.16)

где .

4.3. О выборе критерия оптимальности при решении задачи стабилизации

При решении задачи оптимальной стабилизации систем (1.8) и (4.8) предполагалось, что критерий оптимальности (4.9) выбран заранее и вид его известен. Фактически выбор критерия должен производить специалист, проектирующий систему стабилизации. Если подинтегральная функция в интеграле (4.9) не принимает отрицательных значений, то критерий (4.9) выражает меру отклонения действительного движения от номинального программного движения. Искомый закон управления должен обеспечить минимизацию этой меры вдоль всей программной траектории системы. Если структура критерия (4.9) известна, то необходимо задать матрицу и коэффициент . Оказывается, выбирая эти параметры, можно удовлетворить некоторым требованиям, которым должен удовлетворять переходный процесс в системе. Эти требования иногда называют вторичными критериями оптимальности [3]. Перечислим наиболее важные из них.

1. Критерий «время регулирования». Даны две сферы

и

такие, что . Рассмотрим все множество допустимых управлений , при которых фазовая точка, начинающая свое движение на первой сфере, приходит под действием управления на вторую сферу и остается внутри нее при любом . Такое время всегда существует, поскольку замкнутая система асимптотически устойчива. Будем называть временем регулирования. В общем случае можно ввести некоторое ограничение

, (4.17)

где - заданное число.

Ограничение (4.17) отбирает среди всех допустимых управлений те, которые гарантируют замкнутой системе определенную быстроту затухания переходного процесса.

2. Критерий монотонности. Этот критерий обеспечивает некоторые определенные свойства гладкости переходному процессу, например, апериодичность. Апериодичность для линейной замкнутой системы достигается, если ее собственные значения вещественны и отрицательны (см. Приложение 2). В этом случае переходный процесс не обладает колебательными свойствами.

3. Критерий, учитывающий ограничения, накладываемые на управления . Например, допустимые управления могут принадлежать некоторой области . В случае скалярного управления эта область может быть задана в виде неравенства

, (4.18)

где - заданная величина.

4. Критерий, обеспечивающий принадлежность фазовой траектории заданной области. С помощью этого критерия можно удовлетворить некоторым ограничениям, накладываемым на фазовые переменные замкнутой системы. Например, можно сформулировать требование, чтобы фазовые переменные удовлетворяли неравенствам

, (4.19)

где ; - заданные числа.

5. Критерий, учитывающий ограничение на производные функции управления. Например, могут быть заданы неравенства

, (4.20)

где ; - заданные числа.

Существуют также другие вторичные критерии переходного процесса [3].

Задача выбора управления с учетом некоторых перечисленных вторичных критериев (или ограничений) может быть сформулирована следующим образом [3]. Рассмотрим множество определенно положительных по и функций , входящих в основной критерий

. (4.21)

Примером множества может служить множество функций

,

где матрица удовлетворяет условиям Сильвестра и .

Задача выбора. Среди функционалов вида (4.21), в которых функции принадлежат заданному множеству , требуется указать те, при которых: 1) разрешима основная задача управления и замкнутая система оптимальна; 2) удовлетворяется заданная совокупность вторичных критериев (ограничений).

Очевидно, сформулированная задача выбора заданного функционала (4.21) сводится к выбору матрицы и коэффициента . В общем случае эта задача сложна и не всегда может иметь решение. Однако здесь можно дать некоторые рекомендации по ее решению, основанные на проведенных численных исследованиях. Так, вторичным критериям по времени регулирования (4.17) и ограничению на управление (4.18) можно удовлетворить, изменяя коэффициент . При увеличении этого коэффициента передаточные числа в оптимальном управлении (4.15) уменьшаются, что ведет к уменьшению значений функции управления в каждый момент времени. С другой стороны при этом увеличивается время регулирования при реализации переходного процесса. Поэтому в каждой конкретной задаче необходимо осуществлять некоторый компромиссный выбор коэффициента по результатам решения нескольких задач оптимизации. Аналогично, выбирая компоненты матрицы можно добиться более быстрого регулирования по какой-либо фазовой переменной и, следовательно, удовлетворить некоторым ограничениям вида (4.19). Так, например, если исходная линейная система приведена к главным координатам (см. раздел 2.1) то увеличение коэффициента матрицы ведет к более быстрому регулированию по переменной . Для удовлетворения ограничению (4.20) на производную функции управления в работе [3] предлагается ввести эту производную в критерий оптимизации, изменяя вид функции

,

где .

В этом случае решение задачи оптимизации усложняется [3], однако изменяя коэффициент можно, как и раньше, удовлетворить ограничениям (4.20) на производную функции управления.