6.2. Управление линейной колебательной системой с двумя степенями свободы

Рассмотрим колебательную динамическую систему с двумя степенями свободы вида (5.55-5.56) при действии на нее возмущающей векторной функции и управления

, (6.32)

, (6.33)

где ( ), - заданные коэффициенты. В данном разделе предполагается, что возмущающие функции являются линейными функциями переменных .

Имея в виду применение в последующем метода усреднения и управление амплитудами колебаний, зададим критерий оптимальности в виде

, (6.34)

где и - заданные весовые коэффициенты критерия оптимальности; - амплитуда главных колебаний системы.

Ставится задача о переводе системы, имеющей некоторые заданные амплитуды , в начало координат .

Осуществляя в системе (6.32-6.33) переход к новым переменным амплитуды – фазы (аналогичные преобразования описаны в разделе 5.7), получим

,

, (6.35)

где

, .

Применим к системе (6.35) принцип Беллмана (подробно описанный в разделе 3), приводящий к условию (3.9), которое для системы (6.35) примет вид

, (6.36)

где , .

Выделяя в этом выражении отдельно слагаемые, зависящие от управления , получим функцию

,

где из-за громоздкости не выписаны слагаемые, зависящие от частных производных . Как показано в разделе 6.1 аналогичные слагаемые (в первом приближении метода усреднения) не влияют на определяемое приближенно оптимальное управление.

Необходимое условие минимума функции по управлению будет иметь вид

,

причем выполняется достаточное условие минимума .

Поэтому оптимальное управление определится из условия в виде

. (6.37)

Подставляя управление (6.37) в условие (6.36) и приводя подобные члены, получим уравнение Беллмана для динамической системы (6.35)

(6.38)

Решим дифференциальное уравнение в частных производных (6.38) совместно с уравнениями системы (6.35) приближенно методом усреднения. В соответствии с этим методом будем искать решение этих уравнений в виде асимптотических рядов

,

, (6.39)

,

где и - новые переменные системы (6.35), а вектор-функции ( ) и функции подлежат определению. Причем в соответствии с принципом усреднения

.

Так как определение приближенных решений дифференциальных уравнений (6.35) проводилось ранее, рассмотрим здесь определение только решения уравнения (6.38). Подставляя ряды (6.39) в уравнение (6.38) и учитывая, что , после усреднения получим (с точностью до слагаемых порядка )

(6.40)

,

где верхний индекс ( ) для усредненных переменных для простоты опущен.

Из дифференциального уравнения в частных производных (6.40) находится положительно определенная функция , которая определяет управление (6.37) . Подставляя найденное приближенно оптимальное управление (6.37) в систему (6.35) и усредняя по фазам , получим

,

. (6.41)

Так как функция находится в классе положительно определенных функций, то в соответствии с рассмотренным выше методом Беллмана-Ляпунова решение усредненной системы (6.41) будет асимптотически устойчивым.

Пример. Найдем приближенно оптимальное управление для системы (6.32-6.33) в частном случае, когда и . Будем искать функцию Ляпунова в виде

. (6.42)

Подставим функцию (6.42) в уравнение (6.40) и приравняем к нулю коэффициенты при и , тогда

,

, (6.43)

.

Откуда получаем

, , (6.44)

Нетрудно проверить, что для этих значений условия Сильвестра , выполняются, что обеспечивает асимптотическую устойчивость усредненной системе. Подставив выражения (6.44) в систему (6.41), получим

,

. (6.45)

Систему (6.45) можно представить в виде

, .

Поэтому система (6.45) есть линейная система, записанная в главных координатах, и ее собственные значения вещественны и отрицательны. Следовательно, особая точка на фазовой плоскости ( ) представляет собой устойчивый узел.

Замечание. Если решать задачу оптимального управления для системы с двумя степенями свободы (6.32-6.33) классическим методом без использования принципа усреднения, то это может привести с серьезным трудностям. Дело в том, что порядок системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов функции Ляпунова быстро увеличивается с возрастанием порядка системы. Если это порядок системы, то количество алгебраических уравнений, которые необходимо решать совместно равно . Система (6.32-6.33) имеет четвертый порядок( ), поэтому порядок системы алгебраических уравнений равен десяти. Решить совместно десять алгебраических уравнений и найти решение удовлетворяющее условию Сильвестра чрезвычайно трудно даже с использованием современных численных методов.