1.4. Постановка задачи оптимальной стабилизации движения для линейной динамической системы

Чаще всего при решении задачи стабилизации движения системы или объекта управления используется линейная динамическая система в отклонениях, получающаяся из системы (1.7) отбрасыванием нелинейных слагаемых . Тогда

, (1.8)

где матрицы и в общем случае являются функциями времени, так как зависят от номинальной программы управления .

Рассмотрим для простоты случай, когда управление является скалярной величиной. При рассмотрении задачи управления линейной динамической системой обычно в качестве критерия оптимальности применяется функционал с квадратичной подинтегральной функцией [3]

. (1.9)

Здесь , - симметричная квадратичная форма вектора

, (1.10)

где - транспонированный вектор (вектор-строка), - квадратная симметричная матрица.

Предполагается, что функция есть положительно определенная квадратичная форма , причем только при . Проводя перемножения в соотношении (1.10) в скалярном виде можно записать

, (1.11)

где - компоненты матрицы .

Для того, чтобы квадратичная форма (1.11) была положительно определена необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры вещественной симметричной матрицы были положительны (условие Сильвестра) [5]:

, (1.12)

В качестве допустимых функций управления обычно принимаются кусочно-непрерывные функции , принадлежащие некоторой области . Если управление определяется как функция вектора фазовых переменных , то говорят, что решается задача синтеза управления. После подстановки закона в систему (1.8) получается автономная линейная система (правые части дифференциальных уравнений зависят только от вектора фазовых переменных ), которая в теории управления называется замкнутой системой.

Таким образом, задача оптимальной стабилизации движения линейной динамической системой формулируется так: среди допустимых управлений системой (1.8) найти такое управление, которая доставляет минимум функционалу (1.9) и переводит систему из начального положения в начало координат , где - время перехода.

Если рассматривается частный случай, когда , то задача называется задачей быстродействия.

2. Управляемость и наблюдаемость динамических систем

2.1. Подобные преобразования линейных динамических систем

При исследовании движения линейных динамических систем вида (1.8) часто используются так называемые подобные преобразования. Пусть - невырожденная квадратная матрица (см. Приложение 1). Введем линейную замену переменных

. (2.1)

Рассмотрим преобразование системы (1.8), где матрицы и для простоты будем считать постоянными, подставив замену (2.1) в соотношение (1.8). Тогда

,

или, умножая слева на обратную матрицу , получим линейную систему относительно новых переменных

, (2.2)

где , , и для сокращения обозначений полагается .

Определение. Преобразование матрицы , где квадратная матрица не вырожденна, называется подобным преобразованием.

Подобные преобразования матриц и, следовательно, линейных динамических систем обладают рядом важных свойств (см. Приложение 1). В частности, при подобных преобразованиях собственные значения матриц не изменяются. Пусть - собственные значения матрицы , а - соответствующие им собственные вектора (см. Приложение 1). Введем матрицу , столбцами которой являются собственные вектора . Рассмотрим случай, когда матрица не имеет кратных (одинаковых) собственных значений. В этом случае подобное преобразование приводит матрицу к диагональному виду , где - диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят собственные значения матрицы (доказательство приводится в Приложении 1).