2.3. Наблюдаемость динамических систем

Понятие наблюдаемости дополняет понятие управляемости [6]. Эти два понятия, как правило, имеет смысл рассматривать только совместно. Если управляемость требует, чтобы каждое состояние (каждая переменная состояния , где ) было чувствительно к управляющему воздействию , то наблюдаемость требует, чтобы каждая переменная состояния влияло на вектор измеренных переменных , где .

Определение [6].

Система наблюдаема, если все ее переменные состояния можно непосредственно или косвенно (посредством других переменных ) определить посредством измерений.

Получим критерий наблюдаемости для линейных динамических систем. Исходную систему уравнений (1.8) рассмотрим совместно с математической моделью измерительного устройства

, (2.10)

где матрица определяет линейную связь между вектором состояния системы и вектором измеряемых переменных .

В частном случае, когда матрица единична, переменные состояния непосредственно измеряются и система наблюдаема. В общем случае для определения наблюдаемости линейной системы (1.8) необходимо для анализа соотношения (2.10) перейти к главным координатам по формуле , где - определенная ранее матрица собственных векторов матрицы . После проведения данного преобразования модель измерительного устройства (2.10) примет вид

, (2.11)

где .

Тогда критерий наблюдаемости для системы (1.8) формулируется следующим образом: система (1.8) наблюдаема, если ни один из столбцов матрицы не является нулевым.

Так, например, если первый столбец матрицы нулевой, то переменная не наблюдаема (от нее не зависит вектор измеряемых переменных). Данный критерий применяется тогда, когда система (1.8) приводится к диагональной форме (2.5) (то есть матрица не имеет кратных собственных значений).

Более универсальным методом определения наблюдаемости линейных систем является критерий, не требующий перехода к главным координатам [6]. В соответствии с этим критерием для определения наблюдаемости системы (1.8) необходимо составить матрицу

. (2.12)

Система (1.8) будет наблюдаема, если матрица будет иметь ранг .

3. Принцип динамического рограммирования беллмана и теория устойчивости ляпунова

3.1. Принцип динамического программирования Беллмана

Для определения оптимального управления линейными динамическими системами при решении задачи стабилизации могут быть применены различные методы [3]. Это могут быть классические методы вариационного исчисления, принцип оптимальности Беллмана [3], принцип максимума Понтрягина [2] и др. Здесь остановимся на изложении принципа динамического программирования Беллмана, с помощью которого были решены ряд важных практических задач оптимальной стабилизации движения объектов управления [3]. В основе метода динамического программирования лежит принцип оптимальности, сформулированный Р. Беллманом [7]. «Оптимальные стратегии управления обладают тем свойством, что каково бы ни было начальное состояние системы и управление в начальный момент, последующее управление должно быть оптимальным в смысле заданного критерия относительно любого другого состояния, которое могло бы явиться естественным следствием управления в начальный момент». Этот принцип для динамических систем (1.1) и (1.8) может быть сформулирован короче: любой отрезок оптимальной траектории есть тоже оптимальная траектория. Последнее означает, что независимо от того, каким было управление на начальном отрезке [ ], последующее управление на отрезке [ ] должно обладать свойством оптимальности по выбранному критерию. Следовательно, если ставится задача поиска оптимального управления на всем отрезке [ ], то управление должно быть оптимальным в каждый момент времени [ ]. Применение принципа оптимальности Беллмана для динамических систем (1.1) и (1.8) приводит к необходимости решения некоторого уравнения в частных производных – уравнения Беллмана относительно функции вектора переменных состояния (или ). Данную функцию обычно называют производящей [3] и ее определение позволяет найти оптимальное управление как функцию от вектора состояния (или ), то есть решить задачу синтеза.

Выведем уравнение Беллмана для задачи быстродействия при управлении динамической системой общего вида (1.1) [3]. Пусть - начальное положение системы (1.1). Необходимо найти управление , переводящее систему (1.1) из положения в заданное положение за минимальное время. Возьмем некоторый момент времени [ ]. Переход из состояния в состояние осуществляется за время (это время не обязательно минимально). Двигаясь затем из состояния в состояние оптимально затратим минимальное время . Общее время перехода будет равно . Пусть минимальное время перехода из состояния в состояние , тогда справедливо неравенство или

,

где введено обозначение .

При получаем

или . (3.1)

Так как начальная точка была выбрана произвольно, то согласно принципу динамического программирования соотношение (3.1) должно быть справедливо для любой точки , а не только для . Следовательно, для любого момента времени имеем неравенство

,

где знак равенства соответствует оптимальной траектории.

Таким образом, оптимальное управление должно быть вычислено из условия

. (3.2)

Определив из условия минимума (3.2) функцию и подставив в это же соотношение, получим дифференциальное уравнение в частных производных (уравнение Беллмана) в виде

(3.3)

относительно производящей функции .

Решая уравнение (3.3) и, тем самым, определяя функцию , затем находим оптимальное управление , так как вид этой функции известен.

Замечание. При определении управления и при выводе уравнения Беллмана (3.3) было сделано два предположения: 1) о существовании оптимальной (в смысле быстродействия) фазовой траектории системы (1.1); 2) о непрерывности функции и ее частных производных .

Второе предположение при решении конкретных задач может оказаться слишком обременительным [2], особенно при решении задачи быстродействия. Дело в том, что функция управления , как правило, принадлежит некоторой области допустимых управлений , которая является замкнутой (содержит свои границы). Так, например, в простейшем случае, когда управление скаляр, оно может удовлетворять неравенству . При построении управления часто оказывается, что оптимальное управление находится в классе кусочно-непрерывных функций и заключается в постоянном переключении управления с одного предельного значения на другое. В этом случае функция становится не дифференцируемой в точках переключения управления и применение изложенного метода становится не обоснованным. Однако существуют модификации метода динамического программирования [3], а также другие методы (например, принцип максимума Понтрягина [2]), которые позволяют избежать эти трудности.

Рассмотрим более общий случай управления динамической системой (1.1), когда критерий оптимальности имеет вид

, (3.4)

где функция является положительно определенной квадратичной формой векторов . При этом функция обращается в ноль только при . В частности, этому условию удовлетворяет функционал (1.9) линейной системы (1.8).

Введем новое время

, (3.5)

где в силу автономности системы (1.1) можно положить .

Тогда, дифференцируя соотношение (3.5) по времени, получим дифференциальное уравнение для нового времени

. (3.6)

Переходя в системе (1.1) к интегрированию по новому времени , получим

. (3.7)

В этом случае критерий оптимальности примет вид

, (3.8)

где - конечное время.

Следовательно, приходим к той же задаче быстродействия, только с другим временем . Здесь предполагается, что допустимые траектории системы (3.7) не проходят через точку . Исключение может составлять лишь конечная точка траектории (при ) [3]. Тогда, применяя ту же схему вывода уравнения Беллмана, как для классической задачи быстродействия, получим

или

. (3.9)

В этом случае схема определения оптимального управления методом динамического программирования состоит из двух этапов.

1. Определение из условия минимума (3.9) функции (находится вид функции).

2. Подстановка этой функции в соотношение (3.9) и решение дифференциального уравнения в частных производных

(3.10)

относительно .

3. Определение оптимального управления в явном виде при известной функции .