3.2O Охлаждение бесконечного стержня. Формула Пуассона.
Решение задачи (3.2) имеет вид (3.3):
Теорема:
Функция (3.3) является
решением краевой задачи (3.2), если
непрерывна и ограничена в указанной
области и удовлетворяет условию Липшица:
при
,
.
Доказательство:
Докажем, что (3.3) удовлетворяет дифференциальному уравнению
Что и требовалось доказать.
Докажем выполнение начальных условий:
,
при
.
Условие Липшица:
при
.
Используем интеграл
вероятности:
,
где
.
Применяем условие Липшица:
так как
,
.
Этот интеграл сходится при
.
Значит
при
,
т.е. начальные условия выполняются.
3.3O Охлаждение полубесконечного стержня и стержня ограниченных размеров.
Краевая задача для полубесконечного стержня:
(3.4
a)
Левый край стержня поддерживается при нулевой температуре.
В
ведем
вместо
новую функцию
.
При таком продолжении задача (3.4а) сводится к (3.2), решение которой имеет вид формулы Пуассона:
В предыдущем пункте
было показано, что данная функция
удовлетворяет дифференциальному
уравнению и начальным условиям:
.
Нужно доказать, что выполняется краевое
условие.
Во втором интеграле заменим y на –y:
При
эти два интеграла совпадают, т.е.
.
Что и требовалось доказать.
Теперь рассмотрим тот же стержень при условии отсутствия теплопередачи через левый край:
(3.4 б)
Введем новую функцию такую, что:
Задача (3.4б) сводится к задаче (3.2) и имеет решение (3.3):
Проверим выполнимость краевого условия:
Во втором интеграле заменим y на –y:
При
это выражение равно 0, т.е.
.
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим охлаждение стержня ограниченных размеров, оба конца которого имеют нулевую температуру.
(3.5)
Продолжим начальное условие нечетным образом влево и вправо с периодом 2l.
и т.д.
Тогда задача (3.5) сводится к (3.2) и дает решение в виде формулы Пуассона:
Уже было показано,
что эта функция удовлетворяет уравнению
теплопроводности и начальному условию
при выполнении условия Липшица.
Проверим выполнение
краевого условия
.
Для этого разобьем интеграл на два:
Введем новую переменную z=y-l
Заменим z на –z во втором интеграле.
Если x=l, то
Что и требовалось доказать.
3. . Решение неоднородной краевой задачи теплопроводности.
Задача для бесконечного стержня с подкачкой в него энергии будет иметь вид:
(3.6)
В
данной задаче подкачку энергии определяет
.
Представим решение в виде суммы слагаемых (метод редукции):
,
и для каждого слагаемого составим свои
задачи (3.6a)
и (3.6б).
(3.6a)
(3.6б)
Задача (3.6a) это задача (3.2), то есть ранее уже решенная. Её решение представляется формулой Пуассона:
.
Будем искать решение задачи (3.6б) в виде:
.
Лемма:
– удовлетворяет
(3.6б), если
удовлетворяет (3.6в):
(3.6в)
Доказательство:
Найдем
и
:
.
.
Можно увидеть, что
,
т.е.
.
Лемма доказана.
Найдем решение (3.6в).
Введем
новую переменную
,
и функцию
,
тогда (3.6в) примет вид:
Это
задача является задачей (3.2) с заменами
Её решение имеет вид (3.3):
.
Поскольку
,
.
В конечном итоге получаем решение:
.
(3.7)
При , подкачки энергии нет, решение (3.7) принимает вид решения (3.3).