1.4 Приведение дифференциальных уравнений второго порядка к каноническому виду
Рассмотрим уравнения гиперболического типа
для (1.1).
Сведем его с помощью замены переменных к
.
Так как , выбираем , где – общий интеграл (1.6).
Тогда
Аналогично
,
тогда
Получаем канонический вид гиперболического уравнения
,
где
. (1.7)
Введем еще одну замену:
;
;
;
.
Посчитаем производные:
, 
;
;
, 
;
.
В итоге получаем
,
где
. (1.7’)
Уравнения параболического типа ( ).
Поскольку
,
.
Характеристическое уравнение имеет одно решение
.
Пусть . Выберем новую переменную , что позволяет обратить коэффициент в 0. Вторую переменную берем произвольным образом
.
Подсчитаем
.
,
поскольку
,
;
.
В результате получаем
. (1.8)
Это каноническая форма уравнения параболического типа.
3)
Эллиптические
уравнения
).
В этом случае имеем
,
,
- комплексные общие интегралы. Представим
(1.1’’)
После замены переменных получаем
,
где
.
Совершим еще одну замену переменных
.
.
При второй замене переменных (1.3) переходят в (1.3’)
;
; (1.3’)
.
В
итоге получаем
;
.
Каноническая форма эллиптического ДУ имеет вид
, (1.9)
где
.
Каноническая форма для уравнений гиперболического вида принимает вид (1.7) или (1.7’), для уравнений параболического типа – (1.8), для уравнений эллиптического вида – (1.9).
В
этих формулах
- всевозможные комбинации из
.
1.5 Каноническая форма дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим
уравнение (1.2), в котором
являются постоянными величинами, и
сведем его к канонической форме.
(1.2)
, где
Используем замену
, ; .
Получим канонические формы следующего типа:
,
,
.
Существует преобразование, позволяющее упростить эти уравнения.
Введем
функцию
.
Константы
и
подбираются так, чтобы коэффициенты
при первых производных обращались в
ноль
,
,
1
,
-1
.
После подстановки этих производных в (1.7’) получаем
,
где
.
Возьмем
;
,
в результате получаем
В результате получаем
. (1.10)
Аналогично, для (1.8) и (1.9) получаем
, (1.11)
(1.12)
где
все
и все
постоянные величины.
Получили каноническую форму ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
1.6 Каноническая форма ду со многими переменными
Будем
считать, что искомая функция зависит
от
переменных
.
В этом случае ДУ имеет
. (1.13)
Здесь
;
.
Перейдем к другой системе координат:
.
Распишем в общем виде производные из (1.13)
вместо (1.13)
где
При замене переменных меняется матрица, составленная из коэффициентов при двух производных:
.
Существует линейное преобразование, приводящее матрицу квадратичной формы к диагональному виду, в котором
При линейных преобразованиях матрицы число диагональных элементов положительных, отрицательных или равных нулю сохраняется.
Предположим,
что
диагональных элементов матрицы
коэффициентов больше нуля, а остальные
– меньше (
.
Тогда:
(1.14)
ДУ (1.14) является канонической формой ДУ гиперболического типа.
Если диагональных элементов матрицы коэффициентов равны нулю, а остальные –не равны, тогда
(1.15)
Уравнение (1.15) – каноническая форма уравнений параболического типа.
При всех диагональных элементов матрицы коэффициентов равных единице имеем
(1.16)
Уравнение (1.16) представляет собой каноническую форму ДУ эллиптического типа.