2.7. Свободные колебания полубесконечной струны (стержня)

Соответствующая краевая задача для струны с жестко закрепленным краем имеет вид

(2.7а)

Введём функции

получающиеся нечетным продолжением начальных условий через точку х=0 (рис. 12).

Рис. 12.

Тогда краевая задача сводится к уже рассмотренной ранее:

Проверим выполнимость начальных и краевых условий:

,

Поскольку производная от интеграла

имеет вид

, получаем

.

При х=0 получаем

Получили решение краевой задачи (2.7а) в области 0≤х<∞ в виде (2.6) при нечетном продолжении начальных условий.

Теперь рассмотрим краевую задачу

Рис. 13.

Начальные условия четным образом продолжим через х=0 (рис. 13):

Эта краевая задача тоже сводится к уже рассмотренной:

.

Теперь проверяем выполнимость начальных и краевых условий:

,

,

.

Для вычисления u_x(x,t) воспользуемся правилом дифференцируемости интегралов

,

.

Получаем

,

.

Получили решение краевой задачи (2.7b) при четном продолжении начальных условий.

2.8. Свободные колебания струны ограниченных размеров

В этом случае при закрепленном, в точке х=0, конце струны краевая задача имеет вид (рис. 14)

Рис. 14.

Продолжая начальные условия (рис. 14) нечетным образом с периодом 2l через х=0 и х=l (рис. 15).

Рис. 15.

Покажем, что (2.6) является решением задачи (2.8). Ясно, что .

Проверим выполнение начальных и краевых условий.

Начальные условия:

,

,

.

Краевые условия:

В том случае, когда отсутствует перенос энергии через края струны, краевая задача для свободных колебаний ограниченной струны принимает вид

Начальные условия продолжим четным образом через х=0 и х=l (рис. 16).

Рис. 16.

и т.д.

2.9. Вынужденные колебания бесконечной струны

Сформулируем задачу для вынужденных колебаний бесконечной струны с внешним воздействием:

(2.8)

Используем метод редукции, представим решение в виде суммы

. Разбиваем краевую задачу (2.8) на 2 части.

(2.8а) (2.8б)

Решение (2.8а) есть решение (2.5). Тогда получаем

(x,t)= .

Представим u⁽²⁾(x,t)=

Лемма 5. u⁽²⁾ есть решение (2.8б), если z(x,t,τ) является решением:

(2.8в)

Доказательство:

u_хх⁽²⁾(x,t)=

u_t⁽²⁾= .

Воспользуемся формулой интегрирования интеграла, зависящего от параметра, получим

u_tt⁽²⁾= .

u_tt⁽²⁾-v²u_xx⁽²⁾= - v² =f(x,t).

Лемма доказана.

Введем обозначение = = , где s=t-τ. Тогда

(2.8в) переходит в (2.5) при переобозначениях t→s, φ(x)→0, ψ(x)→f(x,τ).

Поэтому решение (2.8г) можно построить применив формулу Даламбера (2.6).

z(x,s)= . Тогда u⁽²⁾(x,t)= .

Получаем решение краевой задачи (2.8).

. (2.9)

Выражение (2.9) при f(x,t)=0 переходит в решение в виде формулы Даламбера (2.6).