2.12. Возникновение стоячих волн и их суперпозиция
Покажем, что (2.12) есть суперпозиция стоячих волн, иными словами, что функцию
можно представить как
Используя тригонометрические соотношения
получим
Следовательно, доказано, что (2.12) сводится к (2.13)
Рассмотрим
частные случаи
.
решение
обращается в ноль при
.
2)
.
3)
.
Таким образом, найденные частные решения представляют собой стоячие волны, и (2.13) можно считать их суперпозицией.
Для того чтобы (2.12) было решением (2.11) нужно, чтобы равномерно сходились ряды
Введем мажорантные ряды
Для рядов Фурье
выполняется теорема сходимости:
Если функция
имеет
непрерывными
первых производных, а
кусочно-непрерывную, то ряды
сходятся.
Причем для нечетных функций
необходимо,
чтобы
и т.д., чтобы для производной
-порядка
,
где
Мажорантные
ряды
и
сходятся, если сходятся ряды
,
где
Возникают дополнительные требования к краевой задаче:
непрерывны,
а
кусочно-непрерывна, кроме того
непрерывны,
а
кусочно-непрерывна и
2.13. Связь формулы Даламбера с решением в виде рядов Фурье
Для свободных колебаний струны ограниченных размеров с закрепленными концами краевая задача имеет вид (2.8a)
Ее
решение было найдено ранее, путем замены
,
где
строится как нечетное продолжение
функции φ через точку
с периодичностью
,
аналогично для
.
Краевая
задача (2.8a)
сводилась к (2.5) и её решение согласно
формуле (2.6) имеет вид
Представим расширенные начальные условия в виде
После подстановки в (2.6) получаем
Следовательно,
на примере задачи (2.14), показано, что
решение (2.12) совпадает с решением (2.6).
При этом для нечетных функций должны
выполняться дополнительные условия
для
и
введенные в предыдущем параграфе.
2.14 . Решение неоднородной краевой задачи методом разделения переменных.
Рассмотрим краевую задачу для вынужденных колебаний струны ограниченных размеров.
Представим
Для начальных условий в силу их нечетности будем считать
Исходное дифференциальное уравнение запишется в виде равенства рядов:
Получаем
,
где
-
вторая производная по времени.
Используя начальные условия, получаем
Для коэффициентов Un(t) получаем краевую задачу
.
Тогда
для
получаются задачи
(2.15a)
(2.15б)
где
Решение (2.15a) будем искать в виде
Используя начальные условия
получаем, что
Тогда
Используем известную в теории обыкновенных дифференциальных уравнений связь между решением неоднородной задачи и решением однородной задачи
Представим
в виде
Следовательно,
для
возникает задача
Легко
видеть, что (2.17) совпадает с (2.15а) при
Тогда из решения (2.15а)
Поскольку
Окончательный результат запишем в виде
Очевидно,
что при
решение (2.18) переходит в (2.12).
2.16. Формула Римана для вынужденных колебаний бесконечной струны
В этом случае краевая задача имеет вид:
где
– начальный профиль, а
– начальное распределение скоростей
для точек струны.
Для дальнейшего потребуется видоизменить теорему Стокса, согласно которой:
Пусть вектор
имеет только две компоненты:
.
В прямоугольных координатах:
Тогда
Сделаем
замену: y→t,
.
В результате получаем:
П
усть
фазовая плоскость – это плоскость
аргументов x,t.
Рассмотрим треугольник AMB
(Рис. 17).
Рис. 17
Тогда:
Сторона BM:
на этом участке
.
Сторона MA:
на этом участке
.
Сторона AB:
на ней t=0
=>
В результате получаем:
Отсюда:
Эта формула называется формулой Римана.
Если учесть, что
То (2.19) принимает вид:
Здесь
– добавка, связанная с вынужденностью
колебаний. Т.е. при f=0
получаем (2.6) – формулу Даламбера. Формула
(2.19) является решением интегрального
уравнения для бесконечной струны и
представляет собой обобщение формулы
Даламбера (2.6).