5.10 Гармонические колебания круглой мембраны.

Дифференциальное уравнение для этого процесса уже встречалось ранее:

, (2.4)

где – скорость распространения колебаний. Для плоской мембраны:

, .

Для установившихся колебаний получаем:

,

где называется волновым вектором.

Перейдём к полярным координатам ( см. 4.3⁰):

, (5.1)

,

_.

представим

.

Получаем , где из-за периодичности находим

.

Введём и получим

. (5.2)

Будем искать решение в виде ряда .

Получаем два варианта и . От второго варианта откажемся, так как при . Для коэффициентов получаем

,

,

и т.д.

Получаем

,

.

Для упрощения вводят

,

Где Г(s) – известная гамма-функция.

По определению

,

,

,

,

.

Тогда

.

В итоге

(5.3)

Полученные выражения представляют собой разновидность цилиндрических функций (функций Бесселя).

5.20 Функции Бесселя

Обобщим уравнение (5.2)

,

где 𝜈 – любое число. Тогда вместо (5.3) получим

,

.

Приведём некоторые варианты этих функций:

,

,

Функции и линейно зависимы, так как

.

Докажем это.

.

Пропадают слагаемые, в которых есть гамма-функция от отрицательных чисел и нуля. Сделаем замену :

.

Для нецелых общее решение (5.2) имеет вид . С учётом ограниченность решения в точке второе решение следует отбросить.

5.30 Рекуррентные формулы для функций Бесселя.

(1) , (2)

Докажем первое соотношение прямой подстановкой:

Сделаем замену

.

Частные случаи рекуррентных формул:

, .

1. (1’)

(2’)

Отсюда

(5.4)

;

,

Дополнение

- функция Неймана.

, - функции Ханкеля.

5.40 Интегральные представления цилиндрических функций.

Вернёмся к уравнению гармонических колебаний мембраны

, где

Представим , тогда

.

Это уравнение имеет частные решения

.

Выявим физический смысл этих решений на примере

Возьмём две точки:

Первая точка:

Вторая точка:

Значения функции в этих точках совпадают. Поскольку вторая точка отстоит от первой на и , можно считать, что это решение описывает плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси X со скоростью .

Возьмём волну, идущую в положительном направлении оси X и перейдём к полярным координатам .

Представим как разложение в ряд Фурье:

. Докажем, что

Дифференцирование по частям даёт

то есть

Чтобы найти перейдём к

Из (5.3) получаем при

.

С другой стороны при

.

В итоге при

Следовательно

(5.5)

5.50 Гармонические колебания сферы.

Ранее (2.4)⁰ для электромагнитных волн в пространстве были получены уравнения

скорость волны.

Будем считать колебания установившимися, то есть

циклическая частота колебаний.

Получаем

, .

Перейдём к сферическим координатам .

.

Уравнение

будем решать методом разделения переменных

.

Для радиальной части искомой функции уравнение

называется уравнением Эйлера.

Функции , для которых , (5.6)

,

,

,

называются сферическими или шаровыми.

Представим .

.

имеет решения

Условие периодичности даёт