Математическое дополнение, формулы Грина.
Теорема
Остроградского-Гаусса имеет вид
,
где функция
непрерывна и конечна в рассматриваемом
объёме V,
охватываемом поверхностью S.
Нормаль
направлена наружу от объёма V.
Возьмем
Аналогично
для
получим
Разность
(4.4) и (4.
)
дает
(4.4) и (4.5) будем называть первой и второй формулами Грина. Эти формулы справедливы в той области, где функции u и непрерывны и конечны вместе со своими первыми производными.
4. Решение трехмерных уравнений Пуассона и Лапласа в общем случае.
В
озьмем
уравнения Пуассона и Лапласа для полевой
функции u(x,y,z).
,
.
Уравнение
Пуассона имеет
,
создающими соответствующее поле.
Его
решение в произвольном объёме V,
включающем в себя
,будем искать с помощью формулы Грина
(4.5).
В
этой формуле в качестве u(x,
y,
z)
возьмем полевую функцию, удовлетворяющую
уравнению Пуассона на
.
Возьмем в качестве
,
где R-
расстояние между, любой точкой источника
и любой точкой объёма V.
При совпадении точки наблюдения с точкой
истока R=0
и условия применимости формулы Грина
нарушится. Окружим точку наблюдения
сферой
радиуса
и выбросим область внутри сферы из
рассмотрения. Тогда для области
формула Грина дает
Сведем
выброшенный объем к точке
.
Из
(4.
имеет решение
в частном случае
Учитывая,
=f
имеем
,
где
Здесь
использована теорема о среднем
Учитывая,
что
совпадает с искомой функцией, находим
(4.6) – общее решение уравнения Пуассона.
Для уравнения Лапласа при f=0
4. Общее решение уравнения Лапласа при наличии разрыва производной искомой функции.
Будем
считать, что искомая функция удовлетворяет
уравнению Лапласа в объёме V,
где есть поверхность
,
на которой производная претерпевает
скачок
В
ыбросим
из рассмотрения точки
,
которые будем считать точками истока.
В формуле Грина (4.5) выберем u,как
полевую функцию удовлетворяющую
уравнению
Выбросим
из рассмотрения
,
Получаем
Устремляем
.
где
был вычислен в 4.
.
Подсчитаем
Поскольку
на
и
получаем
Окончательный ответ имеет вид
При
отсутствии разрыва производной функции
u(x,
y,
z)
внутри V
(4.7) переходит в (4.
).
4. Общее решение уравнения Пуассона в двумерном случае. Математическое дополнение.
Теорема Остроградского-Гаусса в двумерном варианте имеет вид
– нормаль
к границе области S.
Выбирая
,
по аналогии с получением формул Грина
в 4.
,
получим
Предположим, что искомая функция u=u(x, y) удовлетворяет уравнению
В
формуле Грина будем считать u
– искомой функцией,
.
Контур
является
окружностью радиуса
и временно исключим площадь круга
из рассмотрения. Тогда
Устремим
Учитывая,
получаем в результате
Следовательно, найдено решение краевой задачи (3.5). Решение неоднородной краевой задачи теплопроводности.