2.16. Формула Римана для колебаний полубесконечной струны

В этом случае имеем краевую задачу:

Проинтегрируем дифференциальное уравнение по площади четырехугольника ABMA₁ (Рис. 18).

Преобразуем первый интеграл по теореме Стокса (y=t, , ) .

Рис. 18

, где L – контур AA₁MB. Для разных сторон четырехугольника вычислим интегралы

Для BM: => =>

Для MA₁: => => ,

Для A₁A: =>

Для AB: t=0, dt=0,

В итоге суммирования получим

Формула (2.20) переходит в (2.19), если . Это тоже формула Римана, и она связана с формулой Даламбера, поскольку

определяется функцией . Краевое условие явно вошло в решение.

Формула (2.20) – решение неоднородной задачи для полубесконечной струны.

2.17. Существование и единственность краевых задач гиперболического типа

При постановке краевой задачи ее решение должно существовать и быть единственным.

Рассмотрим вынужденные колебания бесконечной струны.

Существование решения для этой и других задач гиперболического типа, было показано ранее.

Решение этой задачи имеет вид:

Докажем единственность решения. Предположим, что у краевой задачи есть два решения: и , причем .

Возьмем

Получаем краевую задачу для w:

,

Для w(x,t): f(x,t)=0, 𝜓(x,t)=0, .

Т.е. решение этой краевой задачи будет . Следовательно, совпадает с .

Аналогичным образом можно доказать единственность решений других краевых задач.

Тема 3. Краевые задачи параболического типа.

3.1O Уравнение теплопроводности

Р ассмотрим ограниченный объем V, в котором идет процесс выделения тепла. В нем существует процесс теплопередачи и есть источник тепла .

Пусть q – удельная тепловая мощность:

Количество теплоты, выделившееся в объеме за время Δt будет равно:

Так как только на , то область интегрирования можно расширить до объема V. Пусть – плотность тела, c – удельная теплоемкость.

Тогда количество теплоты, идущее на нагрев V:

где – перепад температуры.

Введем функцию – температура в точке в момент времени t. Тогда:

Если температура тела неравномерна, то в нем возникают тепловые потоки, направленные из мест с более высокой температурой в места с более низкой. Из закона теплопроводности Фурье:

– количество теплоты, перетекающее через элемент поверхности dS за время ,

где – нормаль к поверхности S, k – коэффициент теплопроводности.

Используем теорему Гаусса-Остроградского:

Уравнение теплового баланса дает

Объем V был выбран произвольно. Следовательно, равенство интегралов равносильно равенству подынтегральных выражений.

При , получаем

Если k=const, то

(3.1) – уравнение теплопроводности. Где .

(3.1) – дифференциальное уравнение параболического типа. В одномерном случае u=u(x,t). Тогда (3.1) принимается вид:

(3.1’)

Само дифференциальное уравнение неоднородно. Если , то в системе есть подкачка тепла извне, а если , то подкачки нет, и в системе осуществляется охлаждение.

Построим простейшие краевые задачи.

1. Охлаждение бесконечного стержня:

2. Охлаждение полубесконечного стержня, левый конец стержня поддерживается при нулевой температуре:

3. Полубесконечный стержень, через левый край которого нет теплопередачи:

,

4. Краевая задача для конечного стержня, оба конца которого поддерживаются при нулевой температуре:

5. Наиболее общая краевая задача имеет вид: