3. . Решение однородной краевой задачи теплопроводности методом разделения переменных.

Вернемся к задаче охлаждения стержня ограниченных размеров.

(3.5)

Оба края стержня находятся при фиксированной нулевой температуре.

Представим искомую функцию, в виде:

и подставим в дифференциальное уравнение.

,

.

Левая часть зависит только от , а правая только от . Такое возможно, только если обе части одна и та же константа. Если эта константа , то решение для есть, если , то решения нет. Это было доказано в теме 2.

.

Получаем для функций и :

,

.

Построим краевые задачи для этих функций.

Для :

(3.5а)

Найдем решение этой задачи:

,

,

.

Если , то решение будет нулевое, которое нас не интересует, значит:

Получаем дискретный набор (собственных значений):

, ему соответствует дискретный набор собственных функций:

, где - произвольная константа.

Пользуясь произвольностью выбора , положим что , в таком случае получаем:

.

Для T:

.

(3.5б)

Решение дифференциального уравнения и имеет вид:

.

Найдем из начальных условий:

Пусть , где .

Тогда 2-е уравнение системы дает нам:

,

.

.

Нашли частное решение в виде:

.

Чтобы найти общее решение построим бесконечный ряд:

, где (3.8)

Чтобы ряд был общим решением задачи (3.5) надо чтобы ряды для , , равномерно сходились.

,

.

Чтобы ряды равномерно сходились, надо чтобы сходились мажорантные ряды:

,

,

Будем считать, что , где есть температура ограничена сверху:

.

Нас интересуют ряды: и

Проверим их сходимость.

Условие сходимости: .

Применим его для наших рядов:

, возьмем , и рассмотрим отношение:

.

Мы доказали сходимость мажорантных рядов, значит равномерно сходятся ряды для , , , а значит (3.8) является общим решением задачи (3.5).

, где . (3.8)

3. . Решение неоднородной краевой задачи теплопроводности методом разделения переменных.

Задача на подогрев стержня ограниченных размеров имеет вид:

(3.9)

Представим решение в виде суммы решений (метод редукции):

, и для каждого решения составим свои задачи (3.9a) и (3.9б).

(3.9a)

(3.9б)

Задача (3.9a) ранее уже решена. Её решением является:

. (3.8)

Будем искать решение задачи (3.9б).

Представим:

, чтобы сразу удовлетворить краевым условиям.

, где

. После подстановки получим:

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых гармониках и получаем дифференциальное уравнение:

Решение будем искать в виде:

.

Лемма:

- удовлетворяет (3.9в) если - удовлетворяет (3.9г).

(3.9г)

Доказательство:

Складываем оба уравнения системы, и получим:

.

Лемма доказана.

Осталось найти решение (3.9г).

Введем переменную . . Получаем измененное условие задачи (3.9г):

, .

Подставим в , получаем:

,

,

. (3.10)

При , (3.10) сводится к (3.8).

3. . Связь формулы Пуассона с решением методом разделения переменныx.

Вспомним задачу (3.2), для охлаждения бесконечного стержня:

(3.2)

Её решение имеет вид:

- формула Пуассона. (3.3)

Решим задачу (3.2) методом разделения переменных. Представим

,

,

. Для находим:

,

.

Выберем , чтобы убрать произведения констант, в дальнейшем.

Для собственных значений спектр непрерывный.

Для Т:

Чтобы взять общее решение надо проинтегрировать частные решения, потому что спектр непрерывен:

,

.

Возьмем начальные условия:

– интеграл Фурье. Существует обратное преобразование Фурье:

.

Получим решение:

(3.11)

Покажем, что решение (3.11) эквивалентно решению (3.3).

Обозначим .

Вычислим интеграл:

Воспользуемся интегралом вероятности: .

.

Замена: , даст:

.

.

Следовательно, оба метода дают нам одинаковые решения.