IV. Повторні випробування

Схема Бернуллі – послідовність випробувань, що задовольняють умовам:

• число випробувань фіксоване,

• кожне з випробувань приводить до одного з двох взаємовиключних наслідків,

• ймовірності цих наслідків постійні у всіх випробуваннях,

• випробування незалежні.

Нехай проведено незалежних випробувань, у кожному з яких подія може з’явитися з постійною ймовірністю . Ймовірність ненастання події в кожному випробуванні дорівнює : . Потрібно обчислити ймовірність того, що в незалежних випробуваннях подія з’явиться рівно раз: .

Формула Бернуллі

Якщо ймовірність появи події в кожному випробуванні постійна, а число випробувань невелике , то ймовірність того, що подія при незалежних випробуваннях з’явитися рівно раз, можна визначити за формулою:

.

Ймовірність того, що подія наступить

менш разів
більш разів
не менш разів
не більш разів

Формула Пуассона

Якщо число незалежних випробувань досить велике, а ймовірність появи події в кожному випробуванні дуже мала , то ймовірність появи події рівно раз в випробуваннях визначається за наближеною формулою

, , .

Локальна теорема Лапласа

Якщо ймовірність появи події в кожному випробуванні постійна і дорівнює (причому не близько до 0 і 1), то ймовірність того, що подія в серії з незалежних випробувань (де досить велике) з’явиться рівно раз, визначається за наближеною формулою:

, ,

де – функція ймовірностей, – парна функція.

Значення функції знаходять із таблиці (додаток 1). Для усіх .

Інтегральна теорема Лапласа

Якщо число незалежних випробувань досить велике, а ймовірність появи події в кожному випробуванні не мала, то ймовірність появи події в інтервалі від до разів визначається наближеною формулою

, , .

Функція – непарна. Значення функції знаходять із таблиці (додаток 2). При .

Ймовірність відхилення відносної частоти від ймовірності. Нехай проводять незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події постійна. Ймовірність того, що в випробуваннях відносна частота появи події відхилиться від ймовірності не більш, ніж на , визначається наближеною формулою

.

Найімовірніше число появ події в серії незалежних випробувань. Число появ події в незалежних випробуваннях називається найімовірнішим, якщо його ймовірність є найбільшою

.

Якщо – ціле число, то ,

• – дробове число, то існує єдине , що дорівнює цілій частині числа ,

• – ціле число, то існує два найімовірніших числа, які дорівнюють відповідно лівій і правій частині нерівності.

Приклад 11.

Ймовірність улучення в мішень при одному пострілі дорівнює 0,4. Знайти ймовірність 3-х улучень при 5-ти пострілах.

Розв’язання. За формулою Бернуллі визначимо ймовірність 3-х улучень при 5-ти пострілах .

Приклад 12.

Підручник виданий тиражем 100 000 екземплярів. Ймовірність того, що підручник зброшурований неправильно, дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить рівно 5 бракованих книг.

Розв’язання. За умовою . Використовуємо формулу Пуассона. ,

.

Приклад 13.

75% усієї продукції відповідає вимогам вищого сорту. Знайти ймовірність того, що в партії з 150 виробів: а) 100 виробів виявиться вищого сорту; б) не менш 110 виробів виявляться вищого сорту.

Розв’язання.

а) . Використаємо локальну теорему Лапласа.

Подія – поява виробу вищого сорту.

.

Із таблиці (додаток 1) знаходимо: , тоді

.

б) . Використаємо інтегральну теорему Лапласа

, ,

.

Отже

.

Приклад 14.

Ймовірність появи події в кожному з 625 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що відносна частота відхилитися від 0,8 не більш, ніж на 0,04.

Розв’язання.

.

.

Приклад 15.

Ймовірність того, що деталь стандартна, дорівнює 0,9. Скільки необхідно перевірити деталей, щоб з ймовірністю 0,9544 можна було стверджувати, що частість відхилиться від ймовірності не більш, ніж на 0,02.

Розв’язання. .

, ,

із таблиці , , , .