5.5. Закон великих чисел

Принцип практичної впевненості

Якщо у визначених умовах ймовірність події дуже мала, то при однократному їх виконанні можна бути упевненим у тому, що ця подія не відбудеться, і в практичній діяльності поводитися так, начебто вона є неможливою.

Ймовірність, якою вирішено зневажати в одному дослідженні, називається рівнем значимості. У статистиці звичайно рекомендується користатися рівнем значимості 0,05 при попередніх дослідженнях і 0,01 при остаточних висновках.

Під законом великих чисел розуміється сукупність положень, у яких стверджується, що з ймовірністю, як завгодно близької до одиниці, виконуються певні співвідношення.

Нерівність Чебишева

Ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного сподівання по абсолютній величині менше додатного числа , не менше різниці між одиницею і дробом, чисельник якого – дисперсія випадкової величини , а знаменник – квадрат

.

Теорема Чебишева

Якщо дисперсії попарно незалежних випадкових величин обмежені однією і тою ж константою , а число їх достатньо велике, то як би ні було мале додатне число , ймовірність того, що відхилення середньої арифметичної цих випадкових величин від середніх арифметичних їх математичних сподівань менше по абсолютній величині , буде як завгодно близька до одиниці

.

Іншими словами, середнє арифметичне достатньо великого числа незалежних випадкових величин втрачає характер випадкової величини. На теоремі Чебишева заснований вибірковий метод у статистиці, суть якого полягає в тому, що по порівняно невеликій випадковій вибірці судять про всю генеральну сукупність досліджуваних об’єктів.

Теорема Бернуллі

Якщо в кожному з незалежних випробувань ймовірність появи події постійна, то як завгодно близька до одиниці ймовірність того, що відхилення відносної частоти від ймовірності по абсолютній величині буде як завгодно малим, якщо число випробувань достатньо велике

.

Іншими словами, при великому числі випробувань частість наближається до ймовірності.

Закон великих чисел лежить в основі різних видів страхування (страхування життя людини на всілякі терміни, майна й ін.) При плануванні асортименту товарів широкого споживання враховується попит на них населення. У цьому попиті виявляється дія закону великих чисел. Сума скінченного числа незалежних нормально розподілених випадкових величин розподілена по нормальному законі.

VI. Елементи математичної статистики

6.1. Характеристики розподілу вибіркових даних

Задача математичної статистики полягає в створенні методів збору та обробки статистичних даних для одержання наукових і практичних висновків.

Вся сукупність об’єктів, що підлягає вивченню, називається генеральною сукупністю.

Та частина об’єктів, що потрапила на перевірку, називається вибірковою сукупністю або вибіркою. Число елементів сукупності називається її об’ємом. Значення кількісної ознаки , що спостерігаються, називаються варіантами. Послідовність варіант, записаних у зростаючому порядку, називають варіаційним рядом. Число спостережень значення називається частотою варіанти . Відношення частоти до об’єму вибірки називається відносною частотою або частістю

.

Статистичним розподілом вибірки називають перелік варіант і відповідних їм частот або відносних частот.

			…
			…
			…

Емпіричною функцією розподілу називають функцію , що визначає для кожного значення відносну частоту події

,

– число спостережень, в яких сприймала значення ознака ,

менше, ніж ,

– загальне число спостережень (об’єм вибірки).

– емпірична функція є аналогом інтегральної функції випадкової величини .

Полігоном частот називають ламану, відрізки якої з’єднують точки .

Полігоном відносних частот називають ламану, відрізки якої з’єднують точки .

У випадку неперервного статистичного розподілу будують гістограму. Гістограмою частот називають фігуру, що є сукупністю прямокутників, основи яких дорівнюють довжинам інтервалів , а висоти дорівнюють густині частоти (тобто відношенню ). Гістограма відносних частот будується відповідно до густини відносних частот. Площа гістограми відносних частот дорівнює одиниці. Це властивість ідентична властивості ймовірностей подій, що утворюють повну групу.

Накопичені частоти – це результати послідовного підсумовування частот усіх варіант (чи частот інтервалів), включаючи частоту даної варіанти (чи інтервалу). Накопичені частоти показують число членів сукупності, для яких ознака не перевищує даного значення. Кумулятивна крива – це ламана лінія, відрізки якої з’єднують точки .

Середні величини розглядаються в статистиці як узагальнюючі показники, у яких знаходять вираження дія загальних для даного явища умов. Основною середньою величиною є середнє арифметичне чи вибіркове середнє.

Вибірковим середнім називають середнє арифметичне значення ознаки вибіркової сукупності

.

Властивості вибіркового середнього:

1. .

2. , чи .

Медіана – це варіанта, яка знаходиться в середині варіаційного ряду.

Для дискретного варіаційного ряду:

Для інтервального варіаційного ряду:

			…
			…

,

де – медіанний інтервал, що вибирають за серединним значенням,

– об’єм вибірки,

– частота медіанного інтервалу,

– сума частот інтервалів, які є попередніми до медіанного.

Модою називають значення варіанти, яка має найбільшу частоту.

Для дискретного варіаційного ряду мода визначається безпосередньо порівнянням частот.

Для інтервального варіаційного ряду

,

де – модальний інтервал з найбільшою частотою,

– частота модального інтервалу,

– частота інтервалу, який є попереднім до модального,

– частота інтервалу, який є наступним за модальним.

Показники варіації

Варіація індивідуальних значень ознаки є атрибутивною властивістю явища. В ній виражається вплив множини випадків, характерних для досліджуваного явища. Показники варіації разом із середніми величинами представляють той фундамент, на який спирається математико-статистичний аналіз.

Розмах варіації (або її амплітуда) – це різниця між найбільшим і найменшим значеннями варіант

.

Середнє абсолютне або середнє лінійне відхилення – це зважене частотами середнє з абсолютних відхилень варіант ряду від вибіркового середнього

.

Вибірковою дисперсією називають середнє арифметичне квадратів відхилень значень ознаки, що спостерігаються, від їх середнього значення

або

,

де .

Середнім квадратичним відхиленням називають корінь квадратний з дисперсії .

Лінійний коефіцієнт варіації – це відносна характеристика ступеня коливань ознаки

.

Коефіцієнт варіації служить для порівняння величин розсіювання двох варіаційних рядів: той з рядів має більшу варіацію, у якого коефіцієнт варіації більше.

Приклад 17.

Провести аналіз статистичного розподілу вибірки працівників цеху по продуктивності праці (кількість деталей, що виготовляються за зміну)

	18	20	22	24
	1	2	6	1

Розв’язання. Об’єм вибірки .

П олігон частот має вигляд:

Емпірична функція розподілу

Вибіркове середнє:

.

Медіана:

– парне число,

, .

.

Знайдемо накопичені частоти

	18	20	22	24
	1	2	6	1
	1	3	9	10

Починаючи з четвертої по дев’яту, варіанти мають значення 22. Отже, і .

.

Мода:

найбільша частота відповідає варіанті 22.

.

Розмах варіації:

.

Середнє абсолютне відхилення:

.

Вибіркова дисперсія:

,

.

Середнє квадратичне відхилення:

.

Коефіцієнт варіації:

.

Приклад 18.

Побудувати полігон частот, визначити моду і медіану інтервального статистичного розподілу вибірки колосів пшениці по їх довжині (мм).

	0 – 2	2 – 4	4 – 6	6 – 8	8 – 10	10 – 12
	133	237	373	362	270	125

Р озв’язання. Обсяг вибірки: .

Полігон побудуємо по серединах інтервалів розподілу:

Знайдемо накопичені частоти:

	0 – 2	2 – 4	4 – 6	6 – 8	8 – 10	10 – 12
	133	237	373	362	270	125
	133	370	743	1105	1375	1500

Медіана:

, .

(6; 8) – медіанний інтервал.

, .

, .

.

Мода:

найбільша частота визначає модальний інтервал (4; 6).

, .

, , .

.