4. Статистические закономерности функциональных преобразований случайных величин

4.1 Преобразования одномерных случайных величин

Рассмотрим преобразование вида , полагая существующуей однозначную обратную функцию , например , . Из физики хорошо известны законы сохранения энергии, количества движения вещества в процессах их преобразования. Закон сохранения вероятности имеет место и при преобразовании случайных величин. Действительно, если случайная величина y равна , а случайная величина x с вероятностью находится в интервале dx, то случайная величина y с такой же вероятностью будет находиться в интервале dy. Следовательно,

,

где и – плотности распределения вероятностей случайных величин x и y, а связь между ними описывается дифференциальными уравнениями

.

В результате получим формулу преобразования

где – модуль производной функции , так как функции, описывающие плотность распределения вероятностей, положительные, т.е. .

Рассмотрим несколько примеров. Предположим, что . Определим производную и получим

.

Таким образом, если y равен корню квадратному от x, а случайная величина x имеет экспоненциальное распределение, то случайная величина y имеет распределение Релея.

Предположим, что случайная величина x получена путем преобразования случайной величины r с равномерным распределением W(r)=1, и В этом случае . В результате получим

Рассмотренное преобразование позволяет формировать экспоненциально распределенные случайные величины, располагая равномерно распределенными в интервале (0, 1).

Если случайная величина x распределена равномерно в интервале от -1 до +1, то

Задано преобразование вида

y=Arth(x),

Обратное преобразование – это тангенс гиперболический

.

Следовательно, закон распределения вероятностей преобразования запишется в виде

Это логистический закон распределения вероятностей, где a=0 и .

Если обратное преобразование двузначное, например, , то . Обозначим , а Событие, попадание случайной величины y в элементарный интервал dy, может иметь место, если случайная величина x попадает или в интервал dx₁, или в интервал dx₂. Следовательно,

В общем случае, если обратная функция преобразования y=f(x) k-значная, то

.

Рассмотрим пример преобразования y=x². Обратные преобразования равны Предположим, что x – нормальная случайная величина с M[x]=a и D[y]=². В этом случае

Это выражение преобразуется к виду

.

4.2 Преобразование двумерных случайных величин

Предположим, что задан закон распределения двумерных случайных величин x₁ и x_2, и функции преобразования . Известны обратные преобразования

, .

В соответствии с законом сохранения вероятностей запишем

где и – бесконечно малые площади в координатах (y₁, y₂) и (x₁, x₂) соответственно. Учитывая, что якобианы преобразования систем координат равны

получим формулы для определения законов распределения преобразованных случайных величин

.

В частном случае, если y₁=x₁, , формулы преобразования упрощаются

так как , , .

Одномерный закон распределения получим, вычислив интеграл

.

Формулы для арифметических преобразований запишутся в виде:

а) суммы двух случайных величин

,

б) разности двух случайных величин y₂=x₁–x₂

,

в) произведения двух случайных величин y₂=x₁x₂

,

г) частное го от деления x₂ на x₁, т.е. y₂=x₂/x₁

.

Если случайные величины независимые, то в этих формулах двумерный закон заменяется на произведение одномерных

W_x(x₁, x₂) = W_x(x₁)W_x(x₂)

Рассмотрим несколько примеров

1. Случайно расположенная точка на плоскости имеет координаты x₁ и x₂. Закон распределения случайных независимых величин x₁ и x₂ с нулевым математическим ожиданием M[x₁]=M[x₂]=0 и равными дисперсиями D[x₁]=D[x₂]=² нормальный. Следовательно,

W(x₁, x₂)= exp

В полярной системе координат y₁=, y₂=R имеет место преобразование

R=y₂= ,  =y₁=arctg ,

где 0≤R≤∞, 0≤φ≤2π.

Обратные преобразования запишутся в виде

x₁=₁(y₁, y₂)=y₂cos(y₁), x₂=₂(y₁, y₂)=y₂sin(y₁).

Производные легко вычисляются

, , , .

Якобиан преобразования равен

.

В результате получим

.

Так как – то случайные величины R и  независимые и их законы распределения равны

W(R)= , W()= .

Первый – это закон Релея, второй – равномерный в интервале (0, 2π).

2. Рассмотрим преобразование в виде суммы двух независимых случайных величин y₂=x₁+x₂, если

Запишем интеграл для определения закона W_y(y₂)

.

Этот интеграл можно вычислить, если преобразовать показатели экспоненты следующим образом:

.

Теперь интеграл легко вычисляется

путем замены переменной . Окончательно получим выражение для закона распределения преобразования y₂=x₁+x₂

,

где , дисперсия суммы двух нормальных случайных величин. Случайная величина y₂ имеет нормальный закон распределения вероятностей и математическое ожидание y₂ равно нулю.

Рассмотрим теперь сумму двух случайных величин с экспоненциальными законами распределения вероятностей

.

Для определения закона распределения запишем выражение

.

Пределы интегрирования получены из условия и поэтому . В результате будем иметь

.

После интегрирования и несложных преобразований запишем закон распределения вероятностей суммы двух случайных величин с экспоненциальными законами и различными параметрами

.

В частном случае, если , то

,

т.е. сумма двух случайных величин с одинаковыми экспоненциальными законами распределения подчиняется закону гамма-распределения.