2. Дискретные случайные величины
2.1. Определения
Многие сложные случайные события могут быть измерены и каждому такому событию поставлено в соответствие число. Примером таких сложных событий является бросание монеты, которая может упасть либо гербом, либо цифрой. Если событию «герб» приписать число 0, а «цифре» – число 1, то последовательность бросаний запишется в виде: 110100011001… Здесь дискретными случайными величинами являются числа 0 и 1. Если бросать кубик с номерами сторон 1, 2, 3, 4, 5, 6, то при последовательности бросаний получим числа: 1, 6, 4, 3, 6, 2, 1, 6, 4, 5… Здесь случайными будут величины 1, 2, 3, 4, 5, 6. Если бросать одновременно 2 кубика, то случайными величинами будут числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Рассмотрим такое сложное событие как
повторение одного и того же простого
случайного события, например, бросания
монеты 10 раз, стрельба по мишени 5 раз,
число выигрышей при 20 попытках и т.д.
Очевидно, что во всех этих случаях число
положительных исходов (число цифр
монеты, число попаданий в мишень, число
выигрышей) будет случайным. Каждое такое
число как случайное событие при проведении
опытов будет появляться со своей
частотой, то есть со своей вероятностью.
Вероятность того, что случайная величина
при проведении опыта (эксперимента)
примет значение k
(k
= 1, 2 , …, n)
запишется в виде
.
Случайные величины 0, 1, 2, …, n
составляют полную группу случайных
событий и, следовательно, сумма их
вероятностей равна единице:
.
Последовательность
,
,
…,
,
…,
называется распределением вероятностей
случайных величин или законом распределения
вероятностей. При бросании монеты k
принимает значение 0 или 1 с вероятностями
,
.
При бросании кубика
принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 равновероятно
и закон распределения можно записать
в виде
,
k
= 1, 2, …, 6;
,
где sgn(х)
– функция единичного скачка, равная
1, если x≥0
или 0, если x<0.
Если бросать 2 кубика, то k
принимает значения от 2 до 12. Число 2
появится только тогда, когда на первом
будет 1 и 1 будет на втором кубике. Это
произведение двух независимых событий
с вероятностями 1/6. Следовательно
.
Очевидно, что
.
Число 3 можно представить как сумму 1+2
или 2+1. Следовательно
.
Число 4 – это 1+3, или 2+2, или 3+1 и
и т.д. Результаты сведем в таблицу 2.1.1.
Таблица 2.1.1
k |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
1/36 |
2/36 |
3/36 |
4/36 |
5/36 |
6/36 |
5/36 |
4/36 |
3/36 |
2/36 |
1/36 |
Представим этот закон в виде графика:
Рис. 2.1.1. Закон равнобедренного треугольника
Закон распределения вероятностей (рис. 2.1.1) называется законом Симпсона и его огибающая – это равнобедренный треугольник.
2.2. Биномиальные законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Рассмотрим следующий эксперимент.
Предположим, что вероятность появления
некоторого события равна p
(например, вероятность брака, вероятность
попадания в мишень при одиночном
выстреле, вероятность искажения символа
в кодовой комбинации и т.д.). Проводится
n
опытов-испытаний. Число положительных
исходов k
– случайная величина, которая может
принимать значения 0, 1, 2, …, n
с различными вероятностями. Предположим,
что n
= 3. Тогда вероятность того, что не будет
ни одного положительного исхода
.
Если будет один положительный исход,
то
.
Если будет два положительных исхода, то
.
Если k
= 3, то
.
Для вероятности
,
где k
– число положительных исходов при n
испытаниях, получим формулу
,
где
– число сочетаний из n
по k.
Это аналитическая запись биномиального закона распределения вероятностей числа положительных исходов при повторении опытов, если вероятность одного положительного исхода равна p, а n – число опытов. Числа p и n называются параметрами закона распределения. Вид закона зависит от этих параметров. Определим наиболее вероятное значение k, для чего рассмотрим соотношение
.
Из этого выражения следует, что наиболее
вероятное значение k0
должно быть равно целой части, содержащейся
в величине, (n+1)p
т.е. k0=[(n+1)p],
где [x]
– целая часть x.
Если (n+1)p
– целое число, то существуют две равные
максимальные вероятности
.
Представляют интерес вероятности того, что 0≤k≤k1 и k1≤k≤k2. Эти вероятности равны
,
Если n
– большое число, то вычислить вероятность
не легко, так как это связано с вычислением
факториалов при больших аргументах.
Если воспользоваться формулой Стирлинга
для вычисления факториалов
,
то для определения
получим приближенную формулу
.
Рассмотрим еще одну формулу для вычисления
,
если p<<1,
а n>>1.
Очевидно, что
,
.
Разложим ln(1– –p)
в ряд и ограничимся первым членом. Тогда
и
.
Рассмотрим отношение
При k=1
следует
.
Далее при k=2
получим
.
Продолжая, приходим к асимптотической формуле
,
где = np, а формула называется формулой Пуассона.
Рассмотрим теперь еще одно сложное
событие. По цели-мишени ведется стрельба
и вероятность попадания в мишень известна
и равна p.
Цель считается пораженной, если имело
место m
попаданий. Это может случиться при m
выстрелах, (m+1)-ом
выстреле и т.д. Очевидно, что число
выстрелов n
является случайной величиной. Определим
закон распределения
,
.
Вероятность того, что в последовательности
n-1
будет точно m-1
положительных исходов подчиняется
биномиальному закону
.
Цель будет поражена, если при следующем (n-ом) выстреле будет еще одно попадание. Следовательно
.
Эта формула – аналитическое описание закона, который называется отрицательным биномиальным законом распределения вероятностей случайной величины n.
Рассмотрим другую задачу, полагая, что задана вероятность промаха p, а случайной величиной является число попаданий в мишень k до m промахов включительно. Если при (n-1) выстреле было (m-1) промахов, то число попаданий было n – m = k. Следовательно,
.
Заменив n-m на k, получим
.
Этот закон называется обобщенным отрицательным законом распределения дискретных случайных величин.
Если m=1, то n – это число выстрелов до первого попадания. В этом случае
.
Этот закон распределения вероятностей называется геометрическим законом.
Рассмотрим большую партию из N изделий. Известно, что вероятность брака равна p. Из большой партии отобрано n изделий и проконтролировано. Из них оказалось m бракованных. Определить закон распределения вероятностей числа M бракованных изделий в большой партии.
Среди оставшихся (N-n) неконтролированных изделий число бракованных изделий (M-m) подчиняются биномиальному закону распределения вероятностей. Поэтому
,
где
.
Этот закон называется обратным биномиальным законом распределения в задачах выборочного контроля, т.е. законом предсказания.
До проведения контроля малой партии из
n
изделий число бракованных в большой
партии M
и малой партии m
являются случайными величинами и
описываются двумерным законом
распределения
.
Определим этот закон распределения.
Закон распределения числа m
в малой партии биномиальный
.
Закон распределения (M-m) бракованных изделий в урезанной партии из N-n изделий при условии, что в малой партии m, тоже биномиальный
.
Закон распределения произведения двух случайных величин M и m равен
.
В результате получим
,
где
,
.
Этот закон называется двумерным биномиальным законом распределения вероятностей случайных величин M и m.
Рассмотрим полную группу несовместимых
случайных событий
,
появляющихся с вероятностями
.
При проведении n
последовательных испытаний каждое из
событий может появиться
раз. Эти числа являются случайными
величинами и обладают следующими
свойствами:
,
.
Закон распределения вероятностей
описывается формулой
и называется полиномиальным законом распределения m случайных величин. В частном случае, если m=2, то
.
Так как
,
,
то
.
Это означает, что биномиальный закон распределения вероятностей является частным случаем полиномиального закона при m = 2.