5.5 Моделирование дискретных случайных величин.

1. Моделирование последовательности двух случайных величин.

Необходимо получить последовательность x₁,x₂, … ,x_n случайных величин, которые принимают значения 1 и 0 с вероятностями p и 1-p, если задан генератор равномерно распределенных случайных величин r в интервале (0,1). Определим интервал от 0 до x, в который с вероятностью p попадает случайная величина r

.

Следовательно, случайная величина x₁=1, если 0≤r≤p и x₂=0, если p<r≤1. Используя функцию единичного скачка sgn(z)=1, если z≥0 и sgn(z)=0, если z<0, алгоритм формирования последовательности нулей и единиц запишем в виде

где r₁, r₂, …, r_i формируются генератором независимых равномерно распределенных случайных величин в интервале (0,1).

Если последовательность должна принимать значения S₁ и S₂ (или D и H), то алгоритм формирования последовательностей S₁, S₂, S₁… (или D, H, D, D …) запишется в виде

Марковская последовательность случайных величин S₁ и S₂ может быть сформирована, если заданы вероятности перехода P(S₁/S₁), P(S₁/S₂), P(S₂/S₁), P(S₂/S₂), а также начальные вероятности P₁(0) и P₂(0). Алгоритм формирования запишется в виде

Если S₂=0, а S₁=1, то

Таким образом, получим коррелированную последовательность нулей и единиц.

2. Моделирование биномиальных случайных величин.

Рассмотрим n-последовательность нулей и единиц, сформированную алгоритмом

.

Число единиц в такой последовательности случайная величина с биномиальным законом распределения вероятностей. Алгоритм формирования запишется в виде

i=1,2,…,n.

Модель формирования случайных величин с отрицательным биномиальным законом базируется на следующем алгоритме. Генерируется последовательность r_j, j=1,2,… и вычисляется текущая сумма S(i)

i=1,2,…,n,

где n – корень уравнения S(n)=m, то есть

где n – случайная величина с отрицательным биномиальным законом распределения.

Случайные величины с обратным биномиальным законом получим следующим образом.

1. Если малая партия изделий имеет размер n, а вероятность брака p, то число бракованных изделий в малой партии m равно

i=1,2,…,n.

2. В оставшейся части партии из N-n изделий число бракованных k равно

j=1,2,…N-n.

3. Случайная величина M – количество бракованных изделий в большой партии при условии, что в малой их было m, равна M=k+m

где r_1i и r_2j – последовательности равномерно распределенных случайных величин.

3. Моделирование гипергеометрических случайных величин

1. Рассмотрим процесс выемки из урны, содержащей N шаров, из которых M шаров черных. Процесс выемки должен продолжаться до тех пор, пока не будет вынуто n шаров. Каждый шар вынимается равновероятно среди других. Вероятность того, что будет вынут черный шар при первой выемке p₁=M/N. Вероятность вынуть черный шар при второй попытке зависит от того, какой шар был при первой попытке. Если был вынут черный шар, то если белый, то Вероятность p₃ будет зависеть от результатов первой и второй попыток и т. д.

Результаты каждой выемки будем обозначать: 1 – если шар черный, 0 – если шар белый. Тогда и результат первой выемки равен Вероятность вынуть черный шар при второй выемке равна

Результат второй выемки равен sgn(p₂-r₂) и вероятность вынуть черный шар при третьей выемке равна

Таким образом, если известны вероятности p₁, p₂,…, p_i-1, то вероятность p_i можно определить по формуле

p₀=0.

Если i=n, то число черных шаров, вынутых из урны, случайная величина, равная

имеет гипергеометрическое распределение вероятностей.

2. Случайную величину n – число вынутых шаров до появления m черных шаров включительно получим следующим образом. На каждом i-ом шаге будем определять число черных шаров

до тех пор, пока k_i не станет равным m. Полученное значение i=n и есть случайная величина с отрицательным гипергеометрическим распределением вероятностей.