4.6 Задачи для самостоятельного решения

4.6.1 Определить и исследовать законы и функции распределения, математические ожидания и дисперсии для следующих преобразований:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

4.6.2 Определить характеристические функции, их первые и вторые производные:

1) нормального закона распределения с параметрами ;

2) распределения Лапласа с параметрами ;

3) однопараметрического гамма-распределения с параметрами , ;

4) равномерного распределения с параметрами , .

5. Компьютерные модели выборок случайных величин

1. Моделирование выборок независимых случайных величин с заданным распределением.

Исследование эффективности измерительных приборов и систем неразрушающего контроля, линий передачи сообщений по каналам связи с помехами представляют собой сложную и дорогостоящую задачу. Реальные измерения и сигналы, содержащие ту или иную информацию, являются случайными величинами со своими статистическими закономерностями. Для оценки эффективности алгоритмов извлечения этой информации (т.е. обработки измерений и сигналов) необходимы достаточно длинные выборки. Вместо реальных (физических) выборок в задачах оценки эффективности можно использовать их модели, формируемые с помощью специальных компьютерных алгоритмов и программ.

В качестве первичного источника случайных величин чаще всего используется компьютерный генератор псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения вероятностей W(r)=1 в интервале (0,1). Если задан закон распределения выборки случайных величин W(x), то в соответствии c законом сохранения вероятности можно записать дифференциальное уравнение и его решение

Предположим, что известна обратная функция x=(r). Тогда располагая случайными величинами r₁, r₂, …, r_n, получим выборку случайных величин x₁, x₂, …, x_n по формуле

x_i=(r_i).

Рассмотрим несколько примеров.

1. Моделирование экспоненциально распределенных случайных величин. Так как , то и обратная функция имеет вид

.

2. Моделирование выборок случайных величин с распределением Релея. В этом случае

.

3. Моделирование выборок нормальных случайных величин. В этом случае можно воспользоваться следующим преобразованием. Так как релеевская случайная величина – это корень квадратный из суммы двух нормальных независимых случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями

,

то обратные преобразования равны

, ,

где , .

Используя два генератора равномерно распределенных случайных величин r₁ и r₂, алгоритм формирования нормальных случайных величин с математическим ожиданием и дисперсией запишется в виде

.

4. Алгоритм формирования последовательности с логистическим распределением запишется в виде:

где a=M[x], и D=D[x] – математическое ожидание и дисперсия.

5.2 Моделирование путем формирования сумм случайных величин с заданным законом распределения

1. Случайная величина с законом распределения Симпсона в интервале (0,1) может быть получена путем суммирования двух независимых случайных величин с равномерным распределением

.

2. Cумма квадратов независимых нормальных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией

,

имеет распределение хи-квадрат с n степенями свободы. Математическое ожидание и дисперсия z равны

m[z]=n, D[z]=2n.

3. Сумма экспоненциально распределенных случайных величин с одинаковыми параметрами имеет гамма-распределение Эрланга

.

4. Сумма случайных величин с гамма-распределением и параметрами  и  имеет гамма-распределение с параметрами n и 

, .

5. Сумма квадратов полунормальных случайных величин с параметром ² имеет гамма-распределение с параметрами =n/2 и =2²

x≥0,

6. Корень квадратный из суммы квадратов полунормальных случайных величин имеет распределение модуля многомерного нормального вектора

x≥0, ,

.