2.6. Задачи для самостоятельного решения

Определить законы и функции распределения вероятностей изученных дискретных случайных величин, выбрав их параметры в интервалах: p=0,05-0,15; 0,4-0,6; 0,8-0,95; N=15-30; n=5-8; M=6-10; m= 3-4.

Исследовать, как меняются законы, математические ожидания и дисперсии случайных величин при изменении параметров (p, N, n, M, m). Отчет должен содержать:

1) таблицу выбранных исходных данных для каждого из законов;

2) аналитические выражения для законов и функций распределения;

3) таблицы вероятностей для построения графиков законов и функций распределения;

4) таблицу математических ожиданий и дисперсий;

5) графики законов и функций распределения вероятностей.

3. Непрерывные случайные величины.

3.1 Гистограмма большой выборки измерений.

Непрерывные случайные величины могут принимать любое значение в интервале ( ) или от до . Так как в этом случае число вариантов равно , то частоту случайного измерения оценить невозможно. Статистическая закономерность непрерывных случайных величин содержится в любой выборке измерений этих величин. Рассмотрим следующий способ их обращения и оценки. Располагая большой выборкой измерений ( ) определим значения максимального и минимального измерения. Разделим весь интервал измерений от до на частей (элементарных интервалов размером каждый) и определим количество измерений в каждом интервале. Обозначим центры интервалов , а количество измерений так что . Таким образом можно определить частоту попадания измерений непрерывных случайных величин в выбранные интервалы . Сведем эти оценки в таблицу 3.1.1.

Таблица 3.1.1

	1	2	3	4	…	n-2	n-1	n
					…
					…

Построим график зависимости от на оси в интервалах .

Рис. 3.1.1. Зависимость частоты попадания измерений в элементарные интервалы

График на рис. 3.1.1. называется гистограммой выборки измерений . На гистограмме явно прослеживается закономерность рассматриваемой случайной величины: наиболее часто её измерения попадают в 5,6 и 7 интервалы и редко в интервалы 1,2,3 и . Частоты называются гистограммными числами и характеризуют плотность измерений на числовой оси .

3.2 Законы и функции распределения вероятностей.

Если число измерений , а , то ступенчатая гистограмма стремится к гладкой функции. Запишем это в виде

.

Полученное дифференциальное уравнение имеет следующий физический смысл: это вероятность попадания случайной величины в бесконечно малую окрестность в точке . Запишем дифференциальное уравнение в виде:

, .

Следовательно, – плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины, а – функция распределения. Функция всегда положительна и площадь под кривой равна единице, т.е.

, , .

Функция неубывающая и . Её физический смысл: это вероятность того, что случайная величина меньше или равна числу

Функцию ещё называют законом распределения вероятности, а случайным величинам присваивают имя аргумента этой функции, например: – закон распределения вероятности случайной величины y, W(z) – закон распределения случайной величины – функция распределения случайной величины , а – величины . Зная закон распределения вероятностей , можно определять вероятности:

1) вероятность того, что

,

2) вероятность того, что или

, .