3.7. Экспоненциальные распределения
1. Гамма-распределение (
)
,
,
,
.
Здесь
– гамма-функция;
,
n=0,1,2,…;
– неполная гамма-функция.
При
– это экспоненциальное распределение.
Если
,
то будем иметь однопараметрическое
распределение с постоянным математическим
ожиданием, равным единице
,
.
Если
,
то дисперсия будет постоянной и равной
единице,
,
.
Если
и n=0,1,2,…,
то закон гамма-распределения называется
распределением Эрланга
,
,
.
Если
,
а
,
то гамма-распределение с этими параметрами
называется распределением хи-квадрат.
Обозначим
и запишем его в виде
,
,
.
2. Распределение модуля многомерного
вектора (
)
,
,
,
.
Если n=1, будем иметь полунормальное распределение вероятностей
,
,
.
Если n=3, то распределение модуля называется распределением Максвелла
,
,
.
3. Распределение Релея
,
,
,
.
4. Обобщённое распределение Релея или распределение Райса
,
,
.
5. Распределение Лапласа или двухстороннее экспоненциальное распределение
,
,
.
3.8. Распределение ограниченных случайных величин в заданном интервале
1. Бета-распределение описывает плотность распределения вероятностей случайных величин в интервале (0,1)
,
,
.
Если
и
,
то
–
равномерный закон распределения.
2. Распределение максимального и минимального значения выборки равномерных случайных величин
Если
,
и
,
то
,
где n – размер выборки случайных величин.
Если
,
то
,
.
Если
и
,
то
.
Функции распределения запишутся в виде
Математические ожидания равны
.
3.9. Двухмерные законы распределения вероятностей
1. Закон распределения двухмерных коррелированных случайных величин записывается в виде
,
где
и r
– коэффициент корреляции случайных
величин
и
.
Если разделить
на
,
то получим выражение для условного
закона распределения
.
Из этого выражения следует
.
.
Заменив в этих формулах 2 на 1, получим
выражения для
,
и
.
Двухмерная функция нормального распределения вероятностей может быть записана в виде
,
где
.
Рассмотрим другие двухмерные распределения вероятностей
2. Двухмерное экспоненциальное распределение вероятностей
,
где
– функция Бесселя.
3. Двухмерное распределение Релея
.
4. Двухмерное распределение Максвелла
,
где
– синус гиперболический.
5. Двухмерное распределение максимального
и минимального
значения выборки из n
равномерно распределённых случайных
величин
,
где
.
3.10. Задачи для самостоятельного решения
Задача
3.10.1.
Сравнить графики трёх законов и функций
распределения (нормального, логистического
и Коши) при одних и тех же значениях
и одинаковых математических ожиданиях.
Определить вероятности того, что
,
если k
= 1, 2, 3 и 3,5, где
.
Задача
3.10.2.
Сравнить графики и функции распределения
закона распределения Эрланга при n
= 1, 2 и 3 и одинаковых математических
ожиданиях и дисперсиях. Определить
вероятности того, что
.
Задача
3.10.3.
Сравнить графики трёх законов распределения
полунормального, Релея и Максвелла при
одинаковых дисперсиях. Определить
вероятности того, что
.
Задача
3.10.4. Исследовать влияние
параметров бета-распределения на графики
их законов распределения вероятностей,
полагая параметры равными: 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Представить таблицу значений их
математических ожиданий, дисперсий и
коэффициентов ассиметрии.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
0,5 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
3 |
0,5 |
0,8 |
M |
|
|
|
|
|
|
||||||
D |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача 3.10.5. Записать формулы для условных законов распределения, если заданы двухмерные распределения: 1) экспоненциальное; 2) Релея; 3) Максвелла; 4) максимального и минимального значений из выборки равномерных случайных величин.
Задача 3.10.6. Вывести формулу для определения коэффициента корреляции максимального и минимального значений из выборки равномерно распределённых в интервале (a, b) случайных величин u и v.