4.3 Числовые характеристики функций случайных величин

Числовые характеристики функций случайных величин могут быть вычислены без знания их законов распределения вероятностей. Математическое ожидание преобразования y=f(x) равно

.

Дисперсия вычисляется по формуле

.

Для независимых случайных величин нетрудно доказать следующие утверждения:

1. математические ожидания суммы и разности двух случайных величин равны сумме и разности их математических ожиданий;

2. дисперсии суммы и разности двух независимых случайных величин равны сумме их дисперсий;

3. математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

Если случайные величины коррелированные, то

.

Математическое ожидание произведения двух коррелированных случайных величин равно

.

Дисперсия произведения двух независимых случайных величин равна

.

Если одна из величин произведения постоянна, например y=a, то M[y]=a, D[y]=0 и .

Рассмотрим сумму n зависимых случайных величин с коэффициентами корреляции r_ij. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий

,

2. дисперсия суммы зависит от коэффициентов корреляции и равна

,

где знак i < j означает, что суммирование распространяется на все пары сочетания случайных величин .

4.4 Характеристические функции законов распределения вероятностей

Под характеристической функцией понимается преобразование Фурье закона W(x), которое обладает важными свойствами при исследовании статистических закономерностей случайных величин. Преобразование записывается в виде

.

Если известно, то

.

Характеристическая функция преобразования y=f(x) запишется как математическое ожидание

.

Путем обратного преобразования получим закон распределения вероятности

.

Для дискретных законов распределения характеристическая функция вычисляется по формуле

.

Если x_k=k и закон биномиальный, то характеристическая функция вычисляется по формуле бинома Ньютона

,

так как .

Если случайная величина распределена равномерно в интервале от –a до a, то

.

Для нормальных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией

.

Используя табличный интеграл

.

и учитывая, что , получим

.

Характеристическая функция гамма-распределения описывается выражением

.

При определении этой формулы использовался табличный интеграл

,

где – гамма-функция.

Сформулируем наиболее важные свойства характеристических функций:

1) k-я производная характеристической функции в точке 0 равна

| ,

2) характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций

Используя эти свойства, можно определять математическое ожидание, дисперсии, коэффициенты асимметрии и эксцесса случайных величин, вычисляя производные характеристических функций и закон распределения суммы путем обратного преобразования .

4.5 Предельные теоремы теории вероятности

Законы распределения вероятностей случайных событий и величин являются математическими моделями реальных статистических закономерностей, свойственных массовым случайным явлениям природы, человеческой деятельности и общественной жизни. Свойство устойчивости массовых случайных явлений было известно человечеству еще с глубокой древности. Устойчивость состоит в том, что особенность каждого отдельного явления не сказывается на среднем результате массы явлений, а случайные отклонения от среднего взаимно погашаются, т.е. имеет место устойчивость средних: при большом числе случайных величин. Средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой уверенностью (с большой вероятностью). Это понятие является физическим содержанием закона больших чисел, под которым понимается ряд утверждений (теорем), которые описывают математически факт приближения средних характеристик большого числа случайных событий или величин к определенным постоянным. Приведем без доказательств эти утверждения-теоремы.

1. Теорема Я. Бернулли. Она утверждает, что при большом числе опытов частота события приближается к постоянному числу – вероятности этого события.

2. Неравенство Чебышева. Предполагается, что случайная величина x имеет математическое ожидание и дисперсию . В этом случае неравенство Чебышева утверждает, что каково бы ни было положительное число , вероятность того, что отклонение случайного числа x от своего математического ожидания не меньше чем ограничена сверху величиной , т.е.

.

3. Теорема Чебышева или закон больших чисел. Утверждается, что при достаточно большом числе независимых случайных величин среднее арифметическое их сходится по вероятности к их математическому ожиданию и в этом случае

где и сколь угодно малые числа. Следовательно,

.

Это означает, что для оценки математических ожиданий случайных величин можно использовать средние арифметические значения, полученные путем обработки результатов экспериментальных измерений.

4. Теорема Маркова утверждает, что если имеются зависимые случайные величины и если при

=?,

то среднее арифметическое выборки случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий

.

5. Теорема Пуассона утверждает, что если производится n независимых опытов над случайным событием A и если вероятность появления A в i-том опыте равна , то при увеличении числа n частота события A сходится по вероятности к среднему арифметическому всех вероятностей , т.е.

.

Эта теорема имеет важное значение для практики, так как в реальных условиях вероятности для каждого опыта несколько отличаются друг от друга.