Дані про діяльність цеху № 2

Період	Загальновиробничі витрати, грн.	Обсяг готової продукції, од.
Січень	17 000	15 000
Лютий	24 000	20 000
Березень	30 000	25 000
Квітень	33 000	30 000

У загальному вигляді функція витрат має вигляд:

у = а + bх,

де у – загальновиробничі витрати,

а – незмінна частина загальновиробничих витрат (постійні

витрати),

b – змінна частина загальновиробничих витрат на одиницю

продукції (змінні витрати на одиницю продукції),

х – кількість продукції.

Поділ витрат на змінні та постійні обумовлюється залежністю між зміною витратами та зміною кількості продукції.

Щоб визначити невідомі показник а і b у функції витрат, необхідно розв’язати систему рівнянь.

Σу_і = na + bΣx_i,

Σx_iy_i = aΣx_i + bΣx_i²,

де n – кількість спостережень.

Для спрощення обчислень використаємо таблицю.

Період (n)	Загальновиробничі витрати (уі)	Кількість продукції (хі)	хі уі	хі2
Січень	17 000	15 000	255 000 000	225 000 000
Лютий	24 000	20 000	240 000 000	400 000 000
Березень	30 000	25 000	750 000 000	625 000 000
Квітень	33 000	30 000	990 000 000	900 000 000
Разом (Σ)	104 000	90 000	2 475 000 000	2 150 000 000

Отже, система рівнянь буде мати вигляд:

104 000 = 4a + 90 000b,

2 475 000 000 = 90 000a + 2 150 000 000b,

Розв’язавши систему рівнянь, ми отримаємо:

а = 1 700, b = 1,08

Таким чином, рівняння функції витрат має вигляд:

у = 1 700 + 1,08 х.

Використовуючи дану функціональну залежність, можна визначити витрати у травні:

х = 35 000, тоді у = 1 700 +1,08 х 35 000 = 39 500 (грн.).

Слід зазначити, що точність визначної лінії регресії залежить від вибірки. Найбільш точною була б функція витрат, визначена при врахуванні всіх даних про загальновиробничі витрати. Оскільки, ми брали до уваги дані лише за чотири місяці, то обчисливши стандартну помилку обрахунку, ми можемо встановити інтервал, в межах якого можна бути більш-менш впевненими у правильності оцінок.

Стандартна помилка обрахунку обчислюється за формулою:

S_e = ,

де у_ф – фактичне значення загальновиробничих витрат,

у_р – значення загальновиробничих витрат, розраховане на основі

визначеної функції витрат.

Для спрощення обчислень використаємо таблицю.

Період (n)	Загальновиробничі витрати (уф)	Кількість продукції (хі)	Витрати (ур) визначені за функцією у = 1 700 + 1,08х	(уф – ур)	(уф – ур)2
Січень	17 000	15 000	17 900	- 900	810 000
Лютий	24 000	20 000	23 300	700	490 000
Березень	30 000	25 000	28 700	1 300	1 690 000
Квітень	33 000	30 000	34 100	- 1 100	1 210 000
Разом (Σ)	104 000	90 000	104 000	0	4 200 000

Стандартна помилка обрахунку становить:

S_e = = 1 450.

Таким чином, витрати в травні становитимуть 39 500 грн. (± 1 450 грн.), тобто перебуватимуть в інтервалі від 38 050 до 40 950 грн.

Завдання 13. На основі регресійного аналізу, необхідно ви значити функціональну залежність між тривалістю роботи обладнання та витратами на його утримання та експлуатацію, обчислити суму витрат на липень, якщо тривалість роботи планують збільшити на 20 % порівняно з попереднім місяцем.

Період	Кількість відпрацьованих машино-годин	Витрати на утримання та експлуатацію обладнання
січень	106	1 200
лютий	120	1 500
березень	110	1 300
квітень	90	1 100
травень	100	1 300
червень	115	1 400

Завдання 14. Використовуючи метод лінійного програмува­н­ня, визначити обсяг виробництва продукції, який забезпечить максимальний дохід, якщо виробничі потужності підприємства обмежені (цех 1 – 360 маш/год, цех 2 – 840 маш/год). Крім того виробництво продукції В обмежено через відсутність необхідної кількості матеріалу, тобто можливе виробництво лише 150 одиниць.

Продукція	Ціна, грн.	Час виробництва, маш/год
		цех 1	цех 2
А	90	3	2
В	105	6	5

Побудова моделі лінійного програмування передбачає:

• визначення змінних величин (в даній моделі лінійного програмування кількість виробів є змінною величиною);

• визначення цільової функції та побудова її рівняння;

• визначення обмежень та побудова їх рівнянь.

Цільова функція – це мета, якої бажає досягнути менеджер. А рівняння цільової функції – це алгебраїчна ілюстрація мети. Головна ціль – це визначити комбінацію виробів, яка забезпечить максимальний дохід підприємству. Рівняння цільової функції має вигляд: Д = 90 х + 105 у,

де Д – максимальний дохід,

х– кількість продукції А,

у – кількість продукції В.

В даній ситуації існує три основних обмеження: виробнича потужність цеху 1, виробнича потужність цеху 2 та кількість матеріалу для виробництва продукції В. Рівняння цих обмежень мають такий вигляд:

• для цеху 1 3х + 2у ≤ 360,

• для цеху 2 6х + 5у ≤ 840,

• обмежена кількість тканини у ≤ 150.

Є ще одне обмеження лінійного програмування, яке передбачає неможливість від’ємного виробництва, тобто: х ≥ 0, у ≥ 0.

На практиці моделі лінійного програмування рішаються за допомогою комп’ютера. При цьому в залежності від кількості змінних в рівнянні цільової функції можуть застосовуватись різні методи рішення. При наявності двох змінних в рівнянні цільової функції можна використати для розв’язання задачі лінійного програмування графічний метод, при трьох і більше – симплексний метод.

Ситуація, яка розглядається, характеризується двома змінними (кількість продукції А і продукції В), тому для рішення моделі використаємо графічний метод.

Графічний підхід до рішення моделі лінійного програмування передбачає побудову графіка, в якому осі координат відображають значення змінних величин, і вже на графіку визначається зона можливих рішень.

Зона можливих рішень – це площа графіка лінійного програмування, яка окреслена лініями рівнянь існуючих обмежень. Для визначення даної площі перш за все необхідно визначити координати ліній обмежень. Для цього обчислимо максимальний обсяг виробництва (табл. 1).

Таблиця 1

Підрозділи	Продукція
	А	В
Цех 1	360 : 3 = 120	360 : 2 = 180
Цех 2	840 : 6 = 140	840 : 5 = 168

Враховуючи дані табл. 1, можна визначити координати ліній обмежень (табл. 2).

Таблиця 2

Обмеження	Координати ліній обмежень
Виробнича потужність цеху 1	(х = 120; у = 0) (х = 0; у = 180)
Виробнича потужність цеху 2	(х = 140; у = 0) (х = 0; у = 168)
Обмежена кількість матеріалів	(у = 150; х ≥ 0 )

Дані координати дозволяють побудувати графік та визначити зону можливих рішень (заштрихована площа).

Оптимальна комбінація виробів – це кут зони можливих рішень.

Визначити який саме кут зони можливих рішень відповідає оптимальній комбінації продажу можна, використовуючи метод проб та помилок або лінію рівноекономічної величини.

Рішення методом проб та помилок передбачає послідовну підстановку координат кожного кута зони можливих рішень в рівняння цільової функції. Найбільше значення цільової функції характеризуватиме оптимальну комбінацію виробів.

Зона можливих рішень має п’ять кутів:

1. х = 0; у = 0

2. х = 0; у = 150

3. х = 15; у = 150

4. х = 107; у = 20

5. х = 120; у = 0

Таким чином, для визначення оптимальної комбінації виробів необхідно зробити п’ять розрахунків загального доходу від реалізації.

Кут	Продукція А		Продукція В		Загальний дохід
	кількість	дохід	кількість	дохід
1	0	90,00	0	105,00	0
2	0	90,00	150	105,00	15 750,00
3	15	90,00	150	105,00	17 100,00
4	107	90,00	20	105,00	11 730,00
5	120	90,00	0	105,00	10 800,00

Дані таблиці дозволять зробити висновок, що кут 3 відображає оптимальну комбінацію виробів, тобто виробництво та реалізація 15 одиниць продукції А і 150 одиниць продукції В забезпечить максимальний дохід при даних обмеженнях.

При використанні ліній рівноекономічних величин на графіку проводять лінії цільової функції, які перетинають зону можливих рішень. Оптимальною буде лінія, яка проходить через останній кут зони можливих рішень.

Припустимо, що загальний дохід дорівнює 1 000 грн. В такому випадку рівняння цільової функції буде мати вигляд:

90 х + 105 у = 1 000,

а можливі координати точок на графіку:

х = 11; у = 0

х = 0; у = 10.

Лінія, проведена через ці точки на графіку, буде первинною лінією рівновеликого доходу. На графіку вона позначена пунктиром. Далі проводяться лінії паралельні даній. Лінія, яка буде проходити через останній кут зони можливих рішень, відображає оптимальну комбінацію виробів. Останнім буде кут з координатами (15;150).

Завдання 15. Підприємство виготовляє два види продукції. Ціна продукції А становить 60 грн. за кілограм, продукції В – 50 грн. за кілограм. Для виробництва продукції використовується обладнання, загальна продуктивність якого становить 300 тон продукції на рік. При виробництві продукції підприємство використовує сировину Х. До складу продукції А входить 60 % 1-го сорту сировини Х та 40 % 2-го сорту, а до складу продукції В – 30 % 1-го і 70 % 2-го сорту. Вартість сировини 1-го сорту становить 35 грн. за кілограм, а 2-го – 25 грн. за кілограм. Необхідно визначити оптимальний річний випуск продукції, щоб виручка від реалізації була максимальною.