2.1.5. Прискорення руху точки

Прискорення – це фізична величина, що характеризує зміну вектора швидкості руху точки за часом.

На підставі цього означення і змісту підрозділу 2.1.3 можна визначити величину і напрям прискорення точки:

. (2.23)

Вектор напрямлений по дотичній до годографа вектора швидкості .

Знайдемо прискорення точки трьома способами опису її руху.

Якщо рух точки задано векторним рівнянням

,

то швидкість , і на підставі (2.23) прискорення

. (2.24)

Для визначення прискорення точки координатним способом скористаємося рівностями (2.7) і (2.24):

.

Розкладаючи вектор прискорення по ортах декартової системи координат

і порівнюючи вирази, маємо

. (2.25)

Модуль вектора і його напрямні косинуси знаходимо за відомими формулами аналітичної геометрії:

; (2.26)

.(2.27)

Формули (2.25)-(2.27) визначають вектор прискорення координатним способом.

Знайдемо прискорення точки, користуючись натуральним способом. Із (2.22) і (2.23) дістанемо

. (2.28)

Зауважимо, що орт змінює свій напрям зі зміною дугової координати , тобто його можна розглядати як складну функцію часу . Отже,

. (2.29)

Розглянемо похідну від за :

.

Знайдемо напрям вектора і його модуль.

Вектор напрямлений, як відомо, по дотичній до годографа вектора . Оскільки – одиничний вектор, його годографом є крива, розміщена на поверхні сфери одиничного радіуса. Тому вектор утворює з вектором прямий кут (рис. 2.8). З’ясуємо, вздовж якої нормалі напрямлений вектор . Для цього розглянемо граничний напрям вектора . Щоб його побудувати, проведемо одиничні вектори і в сусідніх точках М і , де . Побудуємо в точці М вектор , що дорівнює . Тоді .

Якщо , точка , то площина трикутника , обертаючись навколо вектора , наближається до певного граничного положення. Це граничне положення площини трикутника знаходиться в стичній площині кривої в точці М. Отже, нормаль, вздовж якої напрямлений вектор , лежить в стичній площині. Цю нормаль називають головною нормаллю кривої.

Зауважимо, що всі точки будь-якої плоскої кривої лежать у стичній площині.

З рис. 2.8 видно, що вектор напрямлений у бік угнутості кривої, тобто в бік її центра кривини.

Рисунок 2.8

Визначимо модуль вектора

.

З трикутника MNK (рис. 2.8) знаходимо , оскільки

,

тому

.

Оскільки

,

де – радіус кривини кривої, то

. (2.30)

Позначимо орт головної нормалі через і напрямимо його в бік угнутості кривої. Тоді

. (2.31)

Побудуємо місцевий координатний базис – натуральний тріедр (рис. 2.9). Орти дотичної і головної нормалі створюють стичну площину кривої. Проведемо нормаль до цієї площини. Цю нормаль називають бінормаллю, її орт . У площині ( ) розміщені всі нормалі до кривої, тому орти ( ) утворюють нормальну площину кривої. Орти ( ) утворюють спрямну площину кривої.

Повернемось до визначення прискорення точки. На підставі (2.29) і (2.31) вираз (2.28) набуває вигляду

. (2.32)

Зауважимо, що , де – модуль швидкості.

Розкладемо вектор по ортах натурального тріедра:

(2.33)

і порівняємо отриманий вираз із формулою (2.32):

. (2.34)

Як видно з (2.33), (2.34), проекція вектора прискорення на бінормаль дорівнює нулеві.

Отже, вектор прискорення точки лежить завжди у стичній площині траєкторії точки. Проекцію називають дотичним, або тангенціальним прискоренням, проекцію – доцентровим або нормальним прискоренням.

Повне прискорення точки є векторною сумою дотичного і нормального прискорень (рис. 2.10).

.

Рисунок 2.9	Рисунок 2.10

Модуль прискорення і його напрям:

. (2.35)

Отже, формули (2.33), (2.34), (2.35) визначають вектор прискорення натуральним способом.