1. Складемо рівняння Лагранжа іі роду
Для
розв’язання задачі застосуємо рівняння
Лагранжа ІІ роду. Оскільки задана
механічна система має 1 степінь вільності,
то необхідно ввести лише 1 узагальнену
координату, за яку виберемо переміщення
вантажу 1. Отже, будемо мати лише одне
диференціальне рівняння руху механічної
системи відповідно до вибраної
узагальненої координати у вигляді
,
(4.177)
де
–
кінетична енергія механічної системи,
а
–
узагальнена сила.
Складемо
вираз для кінетичної
енергії Т
системи
як функції узагальненої швидкості
.
Кінетична енергія системи дорівнює сумі кінетичних енергій всіх тіл, що до неї входять
,
(4.178)
де – кінетична енергія тіла 1, яке рухається поступально,
;
(4.179)
– кінетична енергія тіла 2, яке обертається навколо нерухомої осі,
,
(4.180)
оскільки
кутова швидкість
тіла 2 (див. рис. 4.31);
Рисунок 4.31
–
кінетична
енергія тіла 3, яке рухається
плоскопаралельно,
,
(4.181)
оскільки
кутова швидкість
,
а швидкість центра мас (див. рис. 4.31)
,
так
як
,
тіла 3;
–
кінетична
енергія тіла 4, яке рухається поступально,
,
(4.182)
оскільки
швидкість
,
так як тіло 4 прикріплене до центра мас
тіла 3.
Таким чином,
.(4.183)
Тут
моменти інерції тіла 2 визначають через
радіус інерції
і тіла 3 як однорідного суцільного
циліндра відповідно за формулами
;
.
(4.184)
Визначимо
узагальнену
силу
із виразу роботи сил на елементарних
переміщеннях точок системи, до яких
прикладені сили. Ці переміщення
відповідають варіації узагальненої
координати
:
,
де залежності між можливими переміщеннями такі ж самі, як між швидкостями, тобто
,
а
сила тертя
,
звідки
.
Отже,
.
(4.185)
За допомогою комп’ютера
Знайдемо прискорення вантажів 1 і 4 та закони руху всіх тіл.
Далі складаємо програму в середовищі Maple, за допомогою якої змоделюємо рух механічної системи [ 8 ]. У табл. 4.2 текст програми розбито на блоки з метою детального пояснення змісту елементів математичного моделювання динаміки механізму.
Рекомендації щодо написання програми для визначення законів руху тіл механічної системи (див. табл. 4.2).
Блок 1 є обов’язковим для будь-якої програми, а підпрограма, що використовується у блоці 2 вже змодельована на кафедрі теоретичної механіки і студент може її взяти у готовому вигляді з додатку № 1 до РГР.
Примітка: у готовій підпрограмі при бажанні можна змінювати тільки кольори графічних об’єктів в операторі .
У блоці:
студент вводить параметри системи згідно виданому завданню (табл. 4.2);
формули (4.184) для обчислення моментів інерції тіл, що обертаються;
вводить вирази для кінетичної енергії системи (4.183) та узагальненої сили (4.185) для знаходження прискорення вантажу 1 з рівняння Лагранжа ІІ роду;
розраховують лінійні та кутові прискорення і виводять на друк прискорення вантажів 1 та 4;
виводить на друк закони руху всіх тіл 1...4, які знаходять за умови рівноваги системи в початковий момент часу.