4.3.2. Диференціальні рівняння малих коливань системи в околі положення стійкої рівноваги

Малими коливаннями називають рухи, які мають властивість: при відхиленні точок системи від положення рівноваги ці відхилення і швидкості точок системи настільки малі, що квадратами і добутками амплітуд і швидкостей можна знехтувати.

Для виводу рівнянь малих коливань скористаємося рівняннями Лагранжа другого роду (4.72). Щоб задовольнити умову малості коливань, у виразах і Ф слід зберегти члени не вище як другого порядку. Тому коефіцієнти і у виразах (4.77) і (4.79) розкладемо в ряд Малорена в околі положення рівноваги:

(4.103)

(4.104)

Задовольняючи умову малості коливань, у (4.104) збережемо тільки перший доданок. Отже,

(4.105)

Коефіцієнти створюють симетричну матрицю і їх називають коефіцієнтами інерції. Отже, кінетична енергія є додатньо означеною квадратичною формою узагальнених швидкостей:

. (4.106)

Аналогічно

, (4.107)

де – коефіцієнти опору.

У виразі (4.102) позначимо . Коефіціє-

нти називають квазіпружними коефіцієнтами.

Тоді

. (4.108)

Підставляючи (4.106), (4.107), (4.108) до (4.72), дістанемо остаточний вигляд системи диференціальних рівнянь малих коливань системи точок з степенями вільності:

. (4.109)

Проведемо докладне дослідження й інтегрування цих рівнянь у кількох окремих випадках: для системи з багатьма степенями вільності розглянемо вільні коливання, для системи з одним степенем вільності – крім вільних, згасаючі і змушені.

4.3.3. Вільні коливання системи з степенями вільності

Вільними називають коливання, що відбуваються без припливу і без розсіювання енергії, тобто у виразах (4.109) відсутні сили опору і збурювальні сили. Рівняння (4.109) набувають вигляду

, (4.110)

Це система звичайних лінійних однорідних диференціальних рівнянь другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Подамо розв’язок у вигляді

(4.111)

Підставивши (4.111) до рівняння (4.110), дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно :

. (4.112)

Ця система має нетривіальний розв’язок, якщо її головний визначних дорівнює нулеві.

Отже,

. (4.113)

Рівняння (4.113) називають рівнянням частот, або ха-рактеристичним. Це рівняння степені відносно , тобто корені його попарно рівні і протилежні за знаком. Лише коренів незалежні. Дійсно, розглянемо функцію . Візьмемо . Тоді

,

тобто однакові за величиною і різні за знаком корені рівняння частот дають однаковий розв’язок. Тому вважатимемо всі корені рівняння додатними.

Усі ці корені мають бути дійсними. Невиконання цієї умови привело б у (4.111) до появи гіперболічних функцій часу, що навіть при досить малих початкових і відповідало б наявності досить значних відхилень системи від положення рівноваги. Це суперечило б умові малості коливань.

Корені рівняння частот називають головними частотами.

Обмежимося розглядом випадку, коли рівняння частот не має кратних коренів.

Розв’язуючи рівняння частот (4.113), знаходимо , де . Як бачимо, кількість головних частот коливань системи дорівнює кількості степенів вільності системи.

Повернемося до визначення коефіцієнтів , тобто до системи (4.112). На підставі одне з рівнянь системи (4.112) є наслідком з решти рівнянь. Припустимо, що це останнє рівняння і відкинемо його. Для кожного кореня рівняння частот дістанемо таку систему рівнянь:

(4.114)

Поділимо кожне рівняння системи (4.114) на . Дістанемо систему рівнянь відносно невідомих:

(4.115)

Розв’яжемо (4.115) відносно :

. (4.116)

Здобуті результати перепишемо інакше:

, (4.117)

де – стала, – відповідні алгебраїчні доповнення.

На підставі (4.117)

. (4.118)

Частинний розв’язок (4.111) системи (4.110) матиме вигляд:

. (4.119)

Загальний розв’язок системи (4.110) це сума частинних розв’язків (4.119)

, (4.120)

де і – система сталих інтегрування, які визначають з початкових умов.