Глава 6

ПЛАНИРОВАНИЕ МАШИННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

С МОДЕЛЯМИ СИСТЕМ

Имитационное моделирование является по своей сути машинным экспери­ментом с моделью исследуемой или проектируемой системы. План имитацион­ного эксперимента на ЭВМ представляет собой метод получения с помощью эксперимента необходимой пользователю информации. Эффективность исполь­зования экспериментальных ресурсов существенным образом зависит от выбора плана эксперимента. Основная цель экспериментальных исследований с помо­щью имитационных моделей состоит в наиболее глубоком изучении поведения моделируемой системы. Для этого необходимо планировать и проектировать не только саму модель, но и процесс ее использования, т. е. проведение с ней экспериментов на ЭВМ. Весь комплекс вопросов планирования экспериментов с имитационными моделями для их успешного решения рационально разбить на стратегическое и тактическое планирование.

6.1. Методы теории планирования

ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Машинный эксперимент с моделью системы S при ее исследова­нии и проектировании проводится с целью получения информации о характеристиках процесса функционирования рассматриваемого объекта. Эта информация может быть получена как для анализа характеристик, так и для их оптимизации при заданных ограничени­ях, т. е. для синтеза структуры, алгоритмов и параметров системы S. В зависимости от поставленных целей моделирования системы 5 на ЭВМ имеются различные подходы к организации имитацион­ного эксперимента с машинной моделью М_м. Основная задача планирования машинных экспериментов — получение необходимой информации об исследуемой системе S при ограничениях на ресур­сы (затраты машинного времени, памяти и т. п.). К числу частных задач, решаемых при планировании машинных экспериментов, от­носятся задачи уменьшения затрат машинного времени на модели­рование, увеличения точности и достоверности результатов модели­рования, проверки адекватности модели и т. д.

Машинный эксперимент. Эффективность машинных эксперимен­тов с моделями М_м существенно зависит от выбора плана экс­перимента, так как именно план определяет объем и порядок про­ведения вычислений на ЭВМ, приемы накопления и статистической обработки результатов моделирования системы S. Поэтому основная задача планирования машинных экспериментов с моделью М_м формулируется следующим образом: необходимо получить ин­формацию об объекте моделирования, заданном в виде моделиру­ющего алгоритма (программы), при минимальных или ограничен­ных затратах машинных ресурсов на реализацию процесса модели­рования.

Таким образом, при машинном моделировании рационально планировать и проектировать не только саму модель М_м системы S, но и процесс ее использования, т. е. проведение с ней эксперимен­тов с использованием инструментальной ЭВМ.

К настоящему времени в физике, биологии и т. д. сложилась теория планирования экспериментов, в которой разработаны до­статочно мощные математические методы, позволяющие повысить эффективность таких экспериментов [10, 18,21, 33J. Но перенос этих результатов на область машинных экспериментов с моделями М_м может иметь место только с учетом специфики моделирования систем на ЭВМ. Несмотря на то что цели экспериментального моделирования на ЭВМ и проведения натурных экспериментов совпадают, между этими двумя видами экспериментов существуют различия, поэтому для планирования эксперимента наиболее важ­ное значение имеет следующее: 1) простота повторения условий эксперимента на ЭВМ с моделью М_м системы S; 2) возможность управления экспериментом с моделью М_м, включая его прерывание и возобновление; 3) легкость варьирования условий проведения эксперимента (воздействий внешней среды Е); 4) наличие корреля­ции между последовательностью точек в процессе моделирования; 5) трудности, связанные с определением интервала моделирования (0,7).

Преимуществом машинных экспериментов перед натурным яв­ляется возможность полного воспроизведения условий эксперимен­та с моделью исследуемой системы 5". Сравнивать две альтер­нативы возможно при одинаковых условиях, что достигается, на­пример, выбором одной и той же последовательности случайных чисел для каждой из альтернатив. Существенным достоинством перед натурными является простота прерывания и возобновления машинных экспериментов, что позволяет применять последователь­ные и эвристические приемы планирования, которые могут оказать­ся нереализуемыми в экспериментах с реальными объектами. При работе с машинной моделью М_м всегда возможно прерывание эксперимента на время, необходимое для анализа результатов и принятия решений об его дальнейшем ходе (например, о необ­ходимости изменения значений параметров модели М_м).

Недостатком машинных экспериментов является то, что часто возникают трудности, связанные с наличием корреляции в выход­ных последовательностях, т. е. результаты одних наблюдений зави­сят от результатов одного или нескольких предыдущих, и поэтому вних содержится меньше информации, чем в независимых наблюде­ниях. Так как в большинстве существующих методов планирования экспериментов предполагается независимость наблюдений, то мно­гие из этих методов нельзя непосредственно применять для машин­ных экспериментов при наличии корреляции [18, 21, 29, 46, 53].

Основные понятия планирования экспериментов. Рассмотрим ос­новные понятия теории планирования экспериментов. В связи с тем что математические методы планирования экспериментов основаны на кибернетическом представлении процесса проведения экспериме­нта, наиболее подходящей моделью последнего является абстракт­ная схема, называемая «черным ящиком». При таком кибернетичес­ком подходе различают входные и выходные переменные: x₁ x₂, ... ..., х_к; у₁ у₂,..., у_i В зависимости от того, какую роль играет каждая переменная в проводимом эксперименте, она может являться либо фактором, либо реакцией. Пусть, например, имеют место только две переменные: х и у. Тогда если цель эксперимента — изучение влияния переменной х на переменную у, то х — фактор, а у — ре­акция. В экспериментах с машинными моделями М_м системы S фак­тор является экзогенной или управляемой (входной) переменной, а реакция — эндогенной (выходной) переменной. Например, в агрегативной системе (А-схеме) факторами будут входные и управля­ющие сообщения, а реакциями — выходные.

Каждый фактор x_h i=l, к, может принимать в эксперименте одно из нескольких значений, называемых уровнями. Фиксирован­ный набор уровней факторов определяет одно из возможных состо­яний рассматриваемой системы. Одновременно этот набор пред­ставляет собой условия проведения одного из возможных экспериментов.

Каждому фиксированному набору уровней факторов соответ­ствует определенная точка в многомерном пространстве, называ­емом факторным пространством. Эксперименты не могут быть реализованы во всех точках факторного пространства, а лишь в принадлежащих допустимой области, как, например, это показано для случая двух факторов х_х и х₂ на рис. 6.1 (плоскость х₁0₁х₂)

Существует вполне определенная связь между уровнями фак­торов и реакцией (откликом) системы, которую можно представить в виде соотношения

Функцию ψi связывающую реакцию с факторами называют функцией реакции, а геометрический образ, соответствующий функ­ции реакции,— поверхностью реакции. Исследователю заранее не известен вид зависимостей ψi,, 1=1, т, поэтому используют прибли­женные соотношения:

Зависимости φ₁ находятся по данным эксперимента. Последний необходимо поставить так, чтобы при минимальных затратах ресурсов (например, минимальном числе испытаний), варьируя по специально сформулированным правилам значения входных переменных, построить математическую модель системы и оценить ее характеристики.

При планировании экспериментов необходимо определить основные свойства факторов. Факторы при проведении экспериментов могут быть управляемыми и неуправляемыми, наблюдаемыми и ненаблюдаемыми, изучаемыми и неизучаемыми, количественными и качественными, фиксированными и случайными.

Фактор называется управляемым, если его уровни целенаправленно выбираются исследователем в процессе эксперимента. При машинной реализации модели М_м исследователь принимает решения, управляя изменением в допустимых пределах различных факторов.

Фактор называется наблюдаемым, если его значения наблюдаются и регистрируются. Обычно в машинном эксперименте с моделью М_м наблюдаемые факторы совпадают с управляемыми, так как нерационально управлять фактором, не наблюдая его. Но неуправляемый фактор также можно наблюдать. Например, на этапе проектирования конкретной системы S нельзя управлять заданными воздействиями внешней среды Е, но можно наблюдать их в машинном эксперименте. Наблюдаемые неуправляемые факторы получили название сопутствующих. Обычно при машинном эксперименте с моделью М_м число сопутствующих факторов велико, поэтому рационально учитывать влияние лишь тех из них, которые наиболее существенно воздействуют на интересующую исследователя реакцию.

Фактор относится к изучаемым, если он включен в модель М_м для изучения свойств системы S, а не для вспомогательных целей, например для увеличения точности эксперимента.

Фактор будет количественным, если его значения - числовые величины, влияющие на реакцию, а в противном случае фактор называется качественным. Например, в модели системы, формализуемой в виде схемы массового обслуживания (Q-схемы), количественными факторами являются интенсивности входящих потоков заявок, интенсивности потоков обслуживания, емкости накопителей, количество обслуживающих каналов и т. д., а качественными факторами - дисциплины постановки в очередь, выбора из очереди, обслуживания заявок каналами и т. д. Качественным факторам в отличие от количественных не соответствует числовая шкала. Однако и для них можно построить условную порядковую шкалу, с помощью которой производится кодирование, устанавливая соответствие между условиями качественного фактора и числами натурального ряда.

Фактор называется фиксированным, если в эксперименте исследуются все интересующие экспериментатора значения фактора, а если экспериментатор исследует только некоторую случайную выборку из совокупности интересующих значений факторов, то фактор называется случайным. На основании случайных факторов могут быть сделаны вероятностные выводы и о тех значениях факторов, которые в эксперименте не исследовались.

В машинных экспериментах с моделями М_м не бывает неуправляемых или ненаблюдаемых факторов применительно к исследуемой системе S. В качестве воздействий внешней среды Е, т. е. неуправляемых и ненаблюдаемых факторов, в машинной имитационной модели выступают стохастические экзогенные переменные. Если имитационная модель сформулирована, то все факторы определены и нельзя во время проведения данного эксперимента (испытания) с моделью М_м вводить дополнительные факторы.

Как уже отмечалось, каждый фактор может принимать в испытании одно или несколько значений, называемых уровнями, причем фактор будет управляемым, если его уровни целенаправленно выбираются экспериментатором. Для полного определения фактора необходимо указать последовательность операций, с помощью которых устанавливаются его конкретные уровни. Такое определение фактора называется операциональным и обеспечивает однозначность понимания фактора.

Основными требованиями, предъявляемыми к факторам, являются требование управляемости фактора и требование непосредственного воздействия на объект. Под управляемостью фактора понимается возможность установки и поддержания выбранного нужного уровня фактора постоянным в течение всего испытания или изменяющимся в соответствии с заданной программой. Требование непосредственного воздействия на объект имеет большое значение в связи с тем, что трудно управлять фактором, если он является функцией других факторов.

При планировании эксперимента обычно одновременно изменяются несколько факторов. Определим требования, которые предъявляются к совокупности факторов. Основные из них - совместимость и независимость. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы, а независимость соответствует возможности установления фактора на любом уровне независимо от уровней других.

При проведении машинного эксперимента с моделью М_м для оценки некоторых характеристик процесса функционирования исследуемой системы S экспериментатор стремится создать такие условия, которые способствуют выявлению влияния факторов, находящихся в функциональной связи с искомой характеристикой.

Для этого необходимо: отобрать факторы х_i, i = 1, k, влияющие на искомую характеристику, и описать функциональную зависимость;

Свойства объекта исследования, т. е. процесса машинного моделирования системы S, можно описывать с помощью различных методов (моделей планирования). Для выбора конкретной модели необходимо сформулировать такие ее особенности, как адекватность, содержательность, простота и т. д. Под содержательностью модели планирования понимается ее способность объяснять множество уже известных фактов, выявлять новые и предсказывать их дальнейшее развитие. Простота - одно из главных достоинств модели планирования, выражающееся в реализуемости эксперимента на ЭВМ, но при этом имеет место противоречие с требованиями адекватности и содержательности.

Для экстремального планирования экспериментов наибольшее применение нашли модели в виде алгебраических полиномов. Предполагаем, что изучается влияние k количественных факторов x_i, i = 1, k, на некоторую реакцию η в отведенной для экспериментирования локальной области факторного пространства G, ограниченной х_{i min} ÷ x_{i max}, i = 1, k (рис. 6.1 для случая k = 2). Допустим, что функцию реакции ψ (х₁, х₂, ..., х_k) можно с некоторой степенью точности представить в виде полинома степени d от k переменных

Для оценки коэффициентов в (6.3) можно применить методы линейной регрессии [10, 18, 21, 22].

Пример 6.1. Аппроксимация полиномов второго порядка функции реакции в однофакторной модели планирования может быть представлена в виде

Более сложные объекты требуют применения полиномиальных моделей плани­рования большего порядка. Так, модель второго порядка в k-факторном эксперимен­те будет иметь вид η = b̃₀ + b̃₁ x₁ + b̃₁².

Более сложные объекты требуют применения полиномиальных моделей плани­рования большего порядка. Так, модель второго порядка в ^-факторном эксперимен­те будет иметь вид

На практике часто стремятся к использованию линейной модели планирования, преобразуя исходные полиномиальные модели. Например, модель второго порядка

может быть преобразована к линейному виду путем введения фиктивных переменных x_tj=x_ix_j Тогда в результате получается модель множественной линейной регрессии

вида

Функция реакции может иметь и более сложную зависимость от факторов. В этом случае некоторые из них удается привести к ли­нейному виду. Такими моделями являются мультипликативная, регрессионная, экспоненциальная и др. [18, 21, 46].

Если выбрана модель планирования, т. е. выбран вид функции η=φ (.x₁, х₂,..., х_к) и записано ее уравнение, то остается в отведенной для исследования области факторного пространства G спланиро­вать и провести эксперимент для оценки числовых значений кон­стант (коэффициентов) этого уравнения.

Так как полином (6.2) или (6.3) содержит G^d_k+d коэффициентов, подлежащих определению, то план эксперимента D должен содер­жать по крайней мере N≥ С k+t различных экспериментальных то­чек:

где x_iu — значения, которые принимает i-я переменная в м-м испыта­нии, i=1, к, и=1, N.

Реализовав испытания в N точках области факторного простран­ства, отведенной для экспериментирования, получим вектор наблю­дений, имеющий следующий вил

где у_и — реакция, соответствующая м-й точке плана х_и= \\x_iu, x_2u,...,x_ku\\,u=1,N

При незначительном влиянии неуправляемых входных перемен­ных и параметров по сравнению с вводимыми возмущениями упра­вляемых переменных в планировании эксперимента предполагается верной следующая модель:

где е_и — ошибка (шум, флуктуация) испытания, которая предполается независимой нормально распределенной случайной величиной математическим ожиданием М(_еu).=0 и постоянной дисперсией D_(eu)σ²=const

Выписав аналогичные соотношения для всех точек плана u=1, N, получим матрицу планирования

размерностью N х (к' +1).

Рассмотрим особенности планирования эксперимента для линей­ного приближения поверхности реакции, причем построению плана предшествует проведение ряда неформализованных действий (при­нятие решений), направленных на выбор локальной области фак­торного пространства G (рис. 6.1).

Вначале следует выбрать границы x_imin и х_imax области определе­ния факторов, задаваемые исходя из свойств исследуемого объекта, т. е. на основе анализа априорной информации о системе S и вне­шней среде Е. Например, такая переменная, как температура, при термобарических экспериментах принципиально не может быть ни­же абсолютного нуля и выше температуры плавления материала, из которого изготовлена термобарокамера.

После определения области G необходимо найти локальную подобласть для планирования эксперимента путем выбора основ­ного (нулевого) уровня x_i0 и интервалов варьирования Δt, i=l, к. В качестве исходной точки x_i0 выбирают такую, которая соот­ветствует наилучшим условиям, определенным на основе анализа априорной информации о системе 5, причем эта точка не должна лежать близко к границам области определения факторов x_imin и x_imax. На выбор интервала варьирования Δх, накладываются естественные ограничения снизу (интервал не может быть меньше ошибки фиксирования уровня фактора, так как в противном случае верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми) и сверху (верхний и нижний уровни не должны выходить за область опре­деления G).

В рамках выбранной модели планирования в виде алгебраических полиномов строится план эксперимента путем варьирования каждого из факторов х_i, i = 1, k, на нескольких уровнях q относительно исходной точки x_i0, представляющей центр эксперимента.

Виды планов экспериментов. Эксперимент, в котором реализуют­ся все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если выбранная модель плани­рования включает в себя только линейные члены полинома и их произведения, то для оценки коэффициентов модели используется план эксперимента с варьированием всех к факторов на двух уров­нях, т. е. q=2. Такие планы называются планами типа 2, где N=2 — число всех возможных испытаний.

Начальный этап планирования эксперимента для получения ко­эффициентов линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях: нижнем x_in и верхнем x_iB,— симметрично рас­положенных относительно основного уровня x_io, i= 1, к. Геомет­рическая интерпретация показана на рис. 6.2, а. Так как каждый фактор принимает лишь два значения x_is=x_i0—Δ_xi , и x_iB=x_i0+Δxi, то для стандартизации и упрощения записи условий каждого ис­пытания и обработки выборочных данных эксперимента масштабы по осям факторов выбираются так, чтобы нижний уровень соответ­ствовал — 1, верхний- +1 а основной — нулю. Это легко до­стигается с помощью преобразования вида

где _Xj — кодированное значение i-го фактора xi — натуральное зна­чение фактора; х₁₀ — нулевой уровень; Δxi,=(х,_в —хi_Н)/2 — интервал варьирования фактора.

Пример 6.2. Пусть в качестве г-го фактора выступает такая переменная, как температура Т, °С, т. е. х, = Т', причем выбраны основной уровень х,о=100°С и интервал варьирования Ах,=20 "С. Тогда кодированные значения Х_i по уровням соответственно будут (80—100)/20 = — 1 для нижнего, (120-100)/20= +1 для верх­него, (100—100)/20=0 для основного.

Расположение точек для ПФЭ типа 2² показано на рис. 6.1, а также на рис. 6.2, б. Выписывая комбинации уровней факторов для каждой экспериментальной точки квадрата, получим план D полно­го факторного эксперимента типа 2²:

При этом планы можно записывать сокращенно с помощью условных буквенных обозначений строк. Для этого порядковый номер фактора ставится в соответствие строчной букве латинского алфавита: х₁→а, х_г→b и т. д.

Затем для каждой строки плана выписываются латинские буквы только для факторов, находящихся на верхних уровнях; испытание со всеми факторами на нижних уровнях обозначается как (1). Запись плана в буквенных обозначениях показана в последней строчке.

Полный факторный эксперимент дает возможность определить не только коэф­фициенты регрессии, соответствующие линейным эффектам, но и коэффициенты регрессии, соответствующие всем эффектам взаимодействия. Эффект взаимодейст­вия двух (или более) факторов появляется при одновременном варьировании этих факторов, когда действие каждого из них на выход зависит от уровня, на которых находятся другие факторы.

Для оценки свободного члена b_о и определения эффектов вза­имодействия b₁₂, b₁₃,..., b₁₂₃,... план эксперимента D расширяют до матрицы планирования X путем добавления соответствующей «фик­тивной переменной»: единичного столбца х₀ и столбцов произведе­ний x₁ x_2,x₁ x₂ ..., x₁ x₂x₃,..., как показано, например, для ПФЭ типа 2³ в табл. 6.1.

Как видно из рассмотренных планов экспериментов типов 2^г и 2³, количество испытаний в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели плана эксперимен­та, т. е. ПФЭ обладает большой избыточностью и поэтому возника­ет проблема сокращения их количества.

Рассмотрим построение планов так называемого дробного фак­торного эксперимента. Пусть имеется простейший полный факторный эксперимент типа 2². Используя матрицу планирования, приве­денную в табл. 6.2, можно вычислить коэффициенты и представить результаты в виде уравнения

Если в выбранных интервалах варьирования уровня процесс можно описать линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента: b₀, b₁ и b₂. Таким образом, остается одна степень свободы, которую можно использовать для минимизации числа испытаний. При линейном приближении b₁₂ → 0 и вектор-столбец x̃₁x̃₂ (табл. 6.2) можно использовать для нового фактора x̃₃. Поставим в табл. 6.2 этот фактор в скобках над взаимодействием x̃₁x̃₂.В этом случае раздельных оценок, которые имели место в ПФЭ типа 2^k, уже не будет и оценки смещаются следующим образом: b̃₁ → β₁ + β₂₃, b̃₂ → β₂ + β₁₃, b̃₃ → β₃ + β₁₂.

При постулировании линейной модели все парные взаимодействия не учитывают. Таким образом, вместо восьми испытаний в полном факторном эксперименте типа 2³ необходимо провести только четыре. Правило проведения дробного факторного эксперимента формулируется так: для сокращения числа испытаний новому фактору присваивается значение вектор-столбца матрицы, принадлежащего взаимодействию, которым можно пренебречь.

При проведении эксперимента из четырех испытаний для оценки влияния трех факторов пользуются половиной ПФЭ типа 2³, так называемой "полурепликой". Если приравнять х₃ и - x₁x₂, то можно получить вторую "полуреплику". Для обозначения дробных реплик, в которых d линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, пользуются условным обозначением 2^{k - d}. Например, "полуреплика" от 2⁶ записывается в виде 2^{6 - 1}, а "четверть-реплика" - 2^{6 - 2}.

Пример 6.4. При построении "полурешшки" 2^3-1 х̃₃ можно приравнять к х̃₁х̃₂ или - х̃₁х̃₂. Две "полуреплики" 2^3-1 показаны в табл. 6.3. Для произведения трех столбцов левой матрицы выполняется соотношение + 1 = x̃₁ x̃₂ x̃₃, а правой матрицы - 1 = x̃₁ x̃₂ x̃₃, т. е. все знаки столбцов произведений одинаковы и в первом случае равны + 1, а во втором - 1.

Кроме симметричных двухуровневых планов типа 2^k при планировании экспериментов применяют также многоуровневые планы, в которых факторы варьируются на 3, 4, ..., т-м уровнях и обозначаются соответственно как 3^k, 4^k , ..., т^k-планы. Многоуровневые несимметричные планы, в которых факторы варьируются на различных уровнях, строятся различными способами: комбинированием полных и дробных факторных планов типа 2^k, методом преобразования симметричных планов в несимметричные и т. д. Рассмотренные планы носят название планов регрессионного анализа для многофакторного эксперимента [10, 22].

Когда модель планирования анализируется методами дисперси­онного анализа, применяют планы дисперсионного анализа. Если при постановке эксперимента реализуются все возможные совокуп­ности условий, то говорят о полных классификациях дисперсион­ного анализа. Если проводится сокращение перебора вариантов — это неполная классификация дисперсионного анализа. Сокращение перебора может проводиться случайным образом (без ограничения на рандомизацию) или в соответствии с некоторыми правилами (с ограничениями на рандомизацию). Чаще всего в качестве таких планов используют блочные планы и планы типа латинского квад­рата [10, 18, 21].

Перейдем далее к рассмотрению вопросов, связанных непосред­ственно с планированием экспериментов с машинной моделью М_м конкретной системы S.