7.3. Обработка результатов машинного

ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ СИНТЕЗЕ СИСТЕМ

При синтезе системы S на базе машинной модели М_м задача поиска оптимального варианта системы при выбранном критерии оценки эффективности и заданных ограничениях решается путем анализа характеристик процесса функционирования различных ва­риантов системы, их сравнительной оценки и выбора наилучшего варианта. Независимо от того, как организуется выбор наилучшего варианта системы — простым перебором всех проанализированных при машинных экспериментах результатов или с помощью специ­альных процедур поиска оптимального варианта, например мето­дов математического программирования,— элементарной операци­ей является сравнение статистически усредненных критериев оценки эффективности вариантов систем [9, 29, 33, 53].

Особенности машинного синтеза. Учитывая то обстоятельство, что конкурирующие варианты системы S отличаются друг от друга структурой, алгоритмами поведения, параметрами, число таких вариантов достаточно велико. Поэтому при синтезе оптимального варианта системы Sopt особенно важно минимизировать затраты ресурсов на получение в результате моделирования характеристик каждого варианта системы. Исходя из этих особенностей, при син­тезе системы S обработку и анализ результатов моделирования каждого варианта системы S следует рассматривать не автономно, а в их тесной взаимосвязи. Очевидно, что задача синтеза оптималь­ного варианта моделируемой системы Sop_t должна быть уже постав­лена при планировании машинного эксперимента с моделью М_м.

В предыдущей главе было показано, что искусственная органи­зация статистической зависимости между выходными характеристи­ками сравниваемых вариантов S₁ и S₂ системы дает выигрыш в точности оценки средних значений, вероятностей и дисперсий при положительно коррелированных критериях q₁ и q₂. Корреляция между критериями q₁ и q₂ возникает в силу того, что случайные векторыμμμ

описывающие воздействие внешней среды Е на варианты S₁ и S₂ системы, имеют общие составляющие = (υ₁, ..., υ_k), в то время как составляющие (υ⁽¹⁾_{k + 1}, ..., υ⁽¹⁾_n) и (υ⁽²⁾_{k + 1}, ..., υ⁽²⁾_m)) статистически независимы.

Если через = (υ₁, ..., υ_k) обозначить фиксированные значения составляющих = (υ₁, ..., υ_k), то условные средние значения q₁ и q₂ будут такими:

т. е. являются функциями переменных v =(v_l ...,vk).

Рассмотрим особенности обработки результатов моделирова­ния, когда сравниваемые в ходе проведения имитационных экс­периментов полные средние значения критериев q₁ и q₂ примут вид

где d = dυ₁, ..., dυ_k; f ( ) = f_k (υ, ..., υ_k) - совместная плотность вероятностей составляющих υ₁, ..., υ_k.

Ковариация

Достаточным условием неотрицательности ковариации, да­ющим выигрыш в оценке разности средних, является одинаковая упорядоченность условных средних μ₁ (v), μ₂(v) относительно век­торного аргумента v=(v₁, ..., v₂), т. е. выполнение неравенства

Так как f ( ) ≥ 0 для всех , то при выполнении (7.1) имеем В₁₂ ≥ 0, что и требовалось доказать.

Когда в качестве результатов моделирования выступают вероятности событий A₁, A₂ для вариантов S₁ и S₂ системы, то условные значения

где P (A₁/ ) - условная вероятность, i= 1, 2.

Тогда достаточное условие неотрицательности ковариации запишется в виде

что соответствует одинаковой упорядоченности условных вероят­ностей P(A1v) и P(A₂/v) относительно векторного аргумента v.

Одинаково упорядоченными являются монотонно возраста­ющие или монотонно убывающие функции μ (v) и μ ₂(v) скалярного аргумента v, а также одинаковые функции μ ₁(v) = μ₂(v) независимо от их монотонности. Пример одинаково упорядоченных возраста­ющих (а) и убывающих (б) функций μ(v) показан на рис. 7.3.

Если положительные функции μ₁/(v), j = l, n, одинаково упорядочены, то произведение любой комбинации этих функций μ_k (v) μ(v)…μ_m (v) одинаково упорядочено с произведе­нием любой комбинации μ (v) μ_q(v) …μ_p(v). Это же мож­но сказать и об условных веро­ятностях Р(Aj/v), j= 1, n.

Пример 7.4. Пусть методом стати­стического моделирования на ЭВМ не­обходимо сравнить результаты моде­лирования двух вариантов S_t и S₂ си­стемы, составленных из одинаковых блоков В_х— В4 (структура системы по­казана на рис. 7.4) и сравниваемых по критерию надежности с учетом случай­ных изменений внешней температуры. События А_х и А₂ соответствуют без­отказной работе вариантов S₁ и S₂ си­стемы в течение заданного времени Т.

Вероятность безотказной работы B_i при заданной температуре v=v можно определить как

где λ_i (v) - интенсивности отказов, являющиеся возрастающими функциями температуры.

Таким образом, функции P (B_i/v) являются одинаково упорядоченными убывающими функциями. Можно показать, что функции Р (А₁/v) = {1 - [1 - P (B₁/v)] [1 - P (B₂/v)]} {1 - [1 - P (B₃/v)] (1 - P (B₄/v)]}, P (A₂/v) = 1 - [1 - P (B₁/v) × P (B₃/v)] [1 - P (B₂/v) P (B₄/v)] также одинаково упорядочены и убывают с ростом температуры v. Поэтому, используя при машинном эксперименте с вариантами S₁ и S₂ системы одни и те же реализации v случайной температуры v, получим в результате моделирования большую точность сравнения вероятностей Р (A₁) и Р (А₂), чем при раздельном моделировании S₁ и S₂ системы с использованием независимых реализаций v.

Рассмотренный пример можно обобщить и на случай векторного аргумента, например для набора таких переменных, как температура, давление, ускорение и т. п.

Когда независимые компоненты в воздействиях внешней среды Е отсутствуют, т.е. v₁ = v₂ — v, условные средние μ ₁ ((v))=M[q₁v], / μ ₂(v)=M q₂/v] преобразуются в детерминированные зависимости критериев от случайных воздействий q_{1 ƒ}(v),

При этом условия одинаковой упорядоченности становятся еще более жесткими. Так, например, условия (7.2) выполняются лишь тогда, когда для всех значений исключено одно из состояний: А_хА_г или A_XA₂. Другими словами, положительная корреляция В₁₂ и связанные с ней преимущества гарантируются лишь тогда, когда вариант системы S₁ равномерно лучше (хуже) варианта S₂. В принятых в § 6.3 обозначениях это соответствует р_с=0 или/>₀=О.

Состояния С = А₁А₂ или D = A₁A₂ вариантов систем S₁ и S₂ возможны лишь при наличии двух неисправных блоков В_i, i = 1, 4, состояние А = А₁А₂ возможно при отсутствии неисправностей или при одной неисправности, а состояние В = А₁А₂ - при трех или четырех неисправностях. Обозначив через B_iB_j ситуацию с неисправностями блоков В_i и B_j, находим соответствие между состояниями

и убеждаемся в отсутствии состояния D.

Следует помнить, что условия одинаковой упорядоченности (7.1) и (7.2) являются достаточными, но не необходимыми и достаточными условиями неотрицательности корреляции. Поэтому, обнаружив в конкретной схеме проведения имитационного эксперимента нарушение этих условий при некоторых реализациях входных воздействий , следует более детально рассмотреть процедуру сравнения средних значений или вероятностей. Например, при сравнении вероятностей, задаваясь значениями Δp = p₁ - p₂, p_A и p_D, необходимо рассчитать значения р₂ = p_A + p_D, p₁ = p₂ + Δp, p_C = p_D + Δp и вычислить коэффициенты корреляции и "выигрыша" соответственно:

где Nn и N₃ — объемы выборки, необходимые для получения задан­ной точности оценки Ар при использовании независимых и зависи­мых реализаций.

Таким образом, использование зависимых испытаний дает воз­можность значительно сократить затраты машинного времени на моделирование. Рассмотренная методика сравнения характеристик вариантов при синтезе системы с учетом их корреляции является формальной. Однако основа для получения с помощью этой мето­дики практических преимуществ — неформальная операция выбора такой схемы имитации, при которой искусственно создавалась бы

требуемая корреляция.

Оценка результатов моделирования системы. Рассмотрим воз­можность оценки при обработке результатов моделирования аб­солютных значений характеристик процесса функционирования си­стемы S. Пусть исследование одного из вариантов системы, напри­мер 5₂, выполнено аналитическим методом и определено среднее значение ц_г критерия q_z. Тогда оценка μ₁ = μ₂ —d среднего значения ц₁ имеет дисперсию

.

где γ_μ - коэффициент выигрыша, получаемого при оценке разности средних значений d = μ₂ - μ₁ за счет зависимости испытаний; α = D [μ̃₂]/D [μ̃₁]. Оценка μ̃'₁ точнее μ̃₁, если (1 + α)/γ_μ < 1.

Однако затраты машинного времени для получения оценки μ̃'₁, которые обозначим как t₁₂, превышают при заданном N затраты машинного времени t₁, необходимого для автономной оценки μ₁. Поэтому при заданной точности оценки среднего μ₁ оценка μ̃'₁ дает выигрыш по затратам машинного времени на имитацию только в том случае, если (1 + α) t₁₂/(γ_μt₁) < 1.

Для нормально распределенных критериев q₁ и q₂ оценка дисперсии D̃'₁ = D₂ + ΔD̃. Выигрыш в затратах машинного времени на имитационное моделирование по сравнению с автономной оценкой D̃₁ будет лишь при условии (1 + α)/t₁₂/γ_D t₁) < 1, где γ_D - коэффициент выигрыша, получаемого при оценке разности дисперсий ΔD̃ за счет зависимых испытаний.

Рассмотренные методы сравнения вариантов S₁ и S₂ моделируемой системы можно использовать в алгоритмах оптимизации на этапе проектирования системы S, т. е. при ее синтезе, по результатам имитационного эксперимента с ее машинной моделью M_м.

При синтезе системы S на основе проведения машинных экспериментов с моделью M_м возникает задача анализа чувствительности модели к вариациям ее параметров. Под анализом чувствительности машинной модели M_м понимают проверку устойчивости результатов моделирования, т. е. характеристик процесса функционирования системы S, полученных при проведении имитационного эксперимента, по отношению к возможным от клонениям параметров машинной модели Δ = (Δh₁, ..., Δh_n) от истинных их значений = (h₁, ..., h_n) [29, 33, 53].

Анализ чувствительности позволяет сравнивать методические погрешности, полученные при построении машинной модели M_м, с неточностями задания исходных данных, что особенно важно при практической реализации для целей синтеза системы S.

Малым отклонениям Δ будут соответствовать изменения ха­рактеристик q ( ), которые в практических расчетах можно оценить величиной Δq=q'( ) Δh+r_Q, где q'( ) =(dq ()/dh₁, ..., dq( )/dh_n);

г₀ — остаточный член второго порядка малости относительно вариации, который используется для проверки точности реше­ния.

Частная производная q'(h) определяется в точках, соответству­ющих номинальным значениям параметров h_ном. Если h_ном=h*, где

h * — оптимальные параметры системы по показателю q (h), то q (h ном) = 0 и необходимо проводить оценку с использованием вто­рой производной q"(h_ном). Таким образом, частные производные

q'(h), q"(h) количественно характеризуют чувствительность ма­шинной модели М_м к изменениям ее параметров.

Большие отклонения характеристик q(h) при малых вариациях Δh свидетельствуют о неустойчивости модели М_м по отношению

к этим вариациям. Для получения оценок q(h) показателя q(h) удобно рассматривать зависимые реализации внешних воздействий при различных h и проводить соответствующую обработку резуль­татов машинного эксперимента с моделью М_м.

Чувствительность можно оценить и на более простой модели, чем модель для определения характеристик процесса функциониро­вания системы S. Кроме того, универсальные оценки производных

q'(h) и q"(h), выполняемые при моделировании по зависимым испытаниям, в ряде частных случаев можно заменить более удоб­ными непосредственными вычислениями.

Таким образом, результаты машинного эксперимента с моде­лью М_м обрабатываются с учетом целей моделирования системы S, которые находятся в тесной связи с вопросами, решаемыми при планировании экспериментов. При синтезе системы 5 на базе ее машинной модели М_м необходимо принять меры по организации зависимых испытаний анализируемых вариантов системы и оценке чувствительности модели к вариации ее параметров, что позволит упростить работу с моделью на каждом шаге оптимизации.

Контрольные вопросы

7.1. Каковы особенности имитационного эксперимента на ЭВМ с точки зрения обработки результатов?

7.2. В чем сущность методов фиксации и обработки результатов при статистическом моделировании систем на ЭВМ?

7.3. Какие методы математической статистики используются для анализа результатов имитационного моделирования систем?

7.4. Какое место занимают имитационные модели при машинном синтезе систем? 7.5. Какова цель организации зависимых испытаний модели системы на ЭВМ?